Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 14, verifique se cada função dada é solução da equação diferencial .

y ' - 2 t y = 1   ,     y = e t 2 ∫ 0 t e - s 2 d s   + e t 2

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão basta derivarmos as possíveis soluções de acordo com a ordem da edo e depois substituir na equação para ver se é de fato uma solução

Para ,     y = e t 2 ∫ 0 t e - s 2 d s   + e t 2 :

Vamos ter que usar nessa O Primeiro Teorema Fundamental do cálculo que nos diz que:

Seja f uma função integrável em [a,x] para qualquer x de [a,b]. Seja c tal que a ≤ c ≤ b e defina-se uma nova função A como segue:

A x =   ∫ c x f ( t ) d t   ,                       s e   a ≤ x ≤ b .  

Entao a derivada A ' x existe em cada ponto x do intervalo (a,b) em que f é contínua e, para tal x, tem-se

A ' x = f x

y ' t = 2 t e t 2 ∫ 0 t e - s 2 d s   + e t 2 e - t 2 +   2 t e t 2

Substituindo em y ' - 2 t y = 1 ,   temos :

2 t e t 2 ∫ 0 t e - s 2 d s   + e t 2 e - t 2 +   2 t e t 2 - 2 t e t 2 ∫ 0 t e - s 2 d s   + e t 2 = 1

portanto é solução

Resposta

É solução

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