Enunciado

Em cada um dos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t   →   ∞ .

x ' = 1 1 2 0 2 2 - 1 1 3 x ,       x 0 = 2 0 1

Passo 1

Encontrando os autovalores da matriz desse sistema nós teremos:

d e t 1 - r 1 2 0 2 - r 2 - 1 1 3 - r = 0

Resolvendo essa determinante nós teremos:

1 - r 2 - r 3 - r - 2 + 0 + 2 2 - r - 0 - 2 ( 1 - r )

O que nos dá uma equação característica igual a:

- r 3 + 6 r 2 - 11 r + 6 = 0

E cujas raízes serão:

r 1 = 1 ; r 2 = 2 ; r 3 = 3

É só uma coincidência que sejam os valores que zerem os elementos da diagonal principal.

Passo 2

Encontrando o autovetor para o autovalor r = 1 nós teremos:

1 - 1 1 2 0 2 - 1 2 - 1 1 3 - 1 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

0 1 2 0 1 2 - 1 1 2 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Pela segunda e primeira linha nós teremos uma relação igual a:

ξ 2 + 2 ξ 2 = 0 → ξ 2 = - 2 ξ 3

E uma solução para essa equação será:

ξ 2 = 2   e   ξ 3 = - 1

E pela terceira linha nós teremos a seguinte relação:

- ξ 1 + ξ 2 + 2 ξ 3 = 0

E substituindo os valores que conhecemos nós temos:

ξ 1 = - ξ 2 - 2 ξ 3 = - 2 + 2 = 0

Então o autovetor que está junto ao autovalor de r = 1 será:

ξ = 0 2 - 1

Nos dando uma solução igual a:

x 1 = c 1 0 2 - 1 e t

Passo 3

Agora vamos descobrir o autovetor para r = 2

1 - 2 1 2 0 2 - 2 2 - 1 1 3 - 2 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

- 1 1 2 0 0 2 - 1 1 1 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Pela segunda linha nós temos que:

2 ξ 3 = 0 → ξ 3 = 0

E isso nos dá uma relação (de acordo com a primeira e terceira linha) igual a:

- ξ 1 + ξ 2 = 0 → ξ 1 = ξ 2

Cuja solução para esse sistema será ξ 1 = ξ 2 = 1

Então o autovalor será:

ξ = 1 1 0

Logo a solução dedicada a esse autovalor será:

x 2 = c 2 1 1 0 e 2 t

Passo 4

Agora para r = 3 nós temos o seguinte autovetor:

1 - 3 1 2 0 2 - 3 2 - 1 1 3 - 3 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

- 2 1 2 0 - 1 2 - 1 1 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Pela terceira linha nós podemos dizer que:

- ξ 1 + ξ 2 = 0 → ξ 1 = ξ 2

Então uma solução para essa equação será ξ 1 = ξ 2 = 1

E pela segunda linha então nós temos:

- ξ 2 + 2 ξ 3 = 0 → ξ 2 = 2 ξ 3

E como ξ 2 = 1 então ξ 3 = 1 2 , o que nos dá um autovetor igual a:

ξ = 1 1 1 2 = 2 2 1

Então a solução dada por esse autovetor será:

x 3 = c 3 2 2 1 e 3 t

Logo a solução geral será igual a:

x = c 1 0 2 - 1 e t + c 2 1 1 0 e 2 t + c 3 2 2 1 e 3 t

Passo 5

Agora se aplicarmos a condição inicial em t = 0 nós teremos:

    x 0 = 2 0 1 = c 1 0 2 - 1 e 0 + c 2 1 1 0 e 0 + c 3 2 2 1 e 0

2 = c 2 + 2 c 3

0 = 2 c 1 + c 2 + 2 c 3

1 = - c 1 + c 3

Da segunda equação podemos tirar que:

c 2 = - 2 c 1 - 2 c 3   ( 1 )

Aplicando esse resultado na primeira equação nós teremos:

2 = - 2 c 1 → c 1 = - 1

Então pela terceira equação teremos:

1 = 1 + c 3 → c 3 = 0

Logo pela primeira equação teremos que:

c 2 = 2

Nos dando então uma solução geral igual a:

x = - 0 2 - 1 e t + 2 1 1 0 e 2 t + 0 2 2 1 e 3 t

Ou:

x = - 0 2 - 1 e t + 2 1 1 0 e 2 t

Resposta

x = - 0 2 - 1 e t + 2 1 1 0 e 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.(22) no texto. Suponha que m 1=m 2=1 ,k 1=k 2=k 3=1 .(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações
Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.(22) no texto. Suponha que m 1=m 2=1 ,k 1=k 2=k 3=1 .(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações
Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.(22) no texto. Suponha que m 1=m 2=1 ,k 1=k 2=k 3=1 .(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações
Em cada um dos Problemas 11 e 12:(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.(b) Desenhe a trajetória correspondente no espaço x 1 x 2 x 3 e desenhe, também, o gráfico de x 1 em função de
Em cada um dos problemas de 7 a 10:(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x 1 x 2 e desenhe, também, o gráfico de x 1 em função de t .9.