Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 3 2 4 2 0 2 4 2 3

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ A - λ I

det ⁡ 3 - λ 2 4 2 - λ 2 4 2 3 - λ = ( 3 - λ ) 2 4 - λ 2 - 2 2 2 4 3 - λ + 4 2 - 1 4 2

Onde:

= 3 - λ 4 + 4 λ - 2 6 - 2 λ - 8 + 4 ( 4 + 4 λ )

= - 1 - λ λ + 1 λ - 8 = 8

Os autovalores podem ser dados por:

λ 1 = 8

λ 2 = - 1

λ 3 = - 1

Passo 2

Para encontrar o vetor próprio de autovetor correspondente a λ 1 = 8 , precisamos resolver A - λ I = 0 . Use a eliminação de Gauss para encontrar o autovetor (este é um sistema homogêneo de equações)

3 2 4 2 0 2 4 2 3 - 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = - 5 2 4 2 - 8 2 4 2 - 5

Por escalonamento, obtemos:

0 2 - 1 0 0 0 1 0 - 1

Onde podemos determinar que:

v 1 = v 3

E:

2 v 2 = v 3

O autovetor correspondente será:

2 1 2

Passo 3

Quando usamos o autovalor λ = - 1 , nós precisamos aplicar na fórmula:

A - λ I = 0

Usaremos eliminação de Gauss:

3 + 1 2 4 2 0 + 1 2 4 2 3 + 1 = 4 2 4 2 1 2 4 2 4

Simetricamente pode ser reduzida a:

1 x 1 + 1 2 x 2 + x 3 = 0

Se x 2 = 0 , então teremos:

x 3 = - 1

x 1 = 1

E o autovetor correspondente será:

1 0 - 1

Agora, se x 1 = 1 , então :

x 2 = - 4

x 3 = 1

E o autovetor correspondente será:

1 - 4 1

Resposta

Para λ 1 = 8   t e m o s   2 1 2 .

Para λ = - 1 temos   1 0 - 1 e 1 - 4 1 .

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