Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.

4 y ' ' - y = 0 ,     y - 2 = 1 ,     y ' - 2 = - 1

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Para o problema de valor inicial, usaremos uma relação dada no capítulo para as constantes, onde resolvemos um sistema e chegamos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 ,     c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0

Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

4 r 2 - 1 ⋅ e r ⋅ t = 0

4 r 2 - 1 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = 0 ± 16 8

Tendo como raízes r 1 = 1 / 2   e r 2 = - 1 / 2   . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e 1 / 2 t + c 2 ⋅ e - 1 / 2 t

Passo 3

Aplicando as condições de contorno, temos que nossas constantes serão dadas pela relação mostrada no Passo 1, assim temos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 = - 1 + 1 ⋅ 1 / 2 1 / 2 + 1 / 2 ⋅ e 1 / 2 ⋅ 2 = - 1 2 ⋅ e 1

c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0 = 1 ⋅ 1 / 2 + 1 1 / 2 + 1 / 2 ⋅ e - 1 / 2 ⋅ 2 = 3 2 ⋅ e - 1

Assim nossa equação que satisfaz a EDO é

y = - 1 2 ⋅ e 1 / 2 t + 1 + 3 2 ⋅ e - 1 / 2 t - 1

E o gráfico é algo desse tipo

onde y decresce conforme t aumenta.

Resposta

y = - 1 2 ⋅ e 1 / 2 t + 1 + 3 2 ⋅ e - 1 / 2 t - 1

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Resolva a equação i )y ¨ + 6 y ˙ + 10 y = 0
Resolva a equação l )y ¨ - 6 y ˙ + 5 = 0
Resolva a equação b )x ¨ + 9 x = 0
Resolva a equação o )y ¨ + 3 y ˙ + 3 y = 0
Resolva a equação b )x ¨ + 5 x = 0