Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.

y ' ' + 8 y ' - 9 y = 0 ,     y 1 = 1 ,     y ' 1 = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Para o problema de valor inicial, usaremos uma relação dada no capítulo para as constantes, onde resolvemos um sistema e chegamos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 ,     c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0

Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 + 8 r - 9 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 + 8 r - 9 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = - 8 ± 100 2

Tendo como raízes r 1 = 1   e r 2 = - 9   . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - 9 t

Passo 3

Aplicando as condições de contorno, temos que nossas constantes serão dadas pela relação mostrada no Passo 1, assim temos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 = 0 + 1 ⋅ 9 1 + 9 ⋅ e - 1 ⋅ 1 = 9 10 ⋅ e - 1

c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0 = 1 ⋅ 1 - 0 1 + 9 ⋅ e 9 ⋅ 1 = 1 10 ⋅ e 9

Assim nossa equação que satisfaz a EDO é

y = 9 10 ⋅ e t - 1 + 1 10 ⋅ e - 9 t + 9

E o gráfico é algo desse tipo

onde até o ponto de mínimo da função, y decresce com t e depois do ponto de mínimo, y cresce quando t aumenta.

Resposta

y = 9 10 ⋅ e t - 1 + 1 10 ⋅ e - 9 t + 9

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