Enunciado

Equações sem a Variável Independente. Considere equações de segunda ordem da forma y ' ' = f y , y ' , na qual a variável independente t não aparece explicitamente. Se definirmos v = y ' , obteremos d v d t = f ( y , v ) . Como a expressão à direita do sinal de igualdade depende de y e v , em vez de t e v , essaequação contém variáveis demais. No entanto, se pensarmos em y como a variável independente, pela regra da cadeia temos d v d t = d v d y d y d t = v d v d y . Portanto, a equação diferencial original pode ser resolvida, obteremos v como função de y . Então poderemos obter uma relação entre y e t resolvendo d y d t = v y , que é uma equação separável. Novamente, o resultado final contém duas constantes arbitrárias. Em cada um dos problemas de 42 a 47, use esse método para resolver a equação diferencial dada.

y ⋅ y ' ' + y ' 2 = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema precisamos aplicar a substituição sugerida pelo enunciado. Após isso, vamos resolver a EDO de primeira ordem para v e então encontrar para y .

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a substituição: chamando y ' = v y e y ' ' = d v d y d y d t = v ' y ⋅ v y , temos que nossa equação fica como:

y ⋅ v ' ⋅ v + v 2 = 0

Podemos escrever a equação como:

y ⋅ d v d y = - v

- 1 v ⋅ d v = 1 y ⋅ d y

Se integrarmos de ambos os lados, chegamos que:

- ln ⁡ v = ln ⁡ y + ln ⁡ k

1 v = k ⋅ y

v = 1 k ⋅ y

Utilizando a transformação novamente, temos que:

d y d t = y ' = v y = 1 k ⋅ y

k ⋅ y ⋅ y ' = 1

k ⋅ y ⋅ d y = d t

k ⋅ y 2 2 = t + k 2

y 2 = 2 ⋅ t k + k 3

Sendo essa nossa solução para a equação.

Resposta

y 2 = 2 ⋅ t k + k 3

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