Enunciado

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.

24. f t = t ,                         0 ≤ t < 1 2 - t ,         1 ≤ t < 2 0 ,                     2 ≤ t < ∞

Passo 1

Para começar, vamos precisar dividir a integral da transformada em três integrais, uma para cada intervalo:

L f ( t ) = ∫ 0 ∞ e - s t f t   d t = ∫ 0 1 t e - s t   d t + ∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t + ∫ 2 ∞ ( 0 ) e - s t   d t

A última integral fica zero, e sobra só o seguinte:

∫ 0 ∞ e - s t f t   d t = ∫ 0 1 t e - s t   d t + ∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t

Passo 2

Em cada uma delas vamos precisar aplicar o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Começando pela primeira integral do lado direito, a gente pode chamar t de u e e - s t de d v , que fica:

∫ 0 1 t e - s t   d t = - t e - s t s 1 0 + ∫ 0 1 e - s t s   d t

Resolvendo a integral que apareceu:

∫ 0 1 t e - s t   d t = - t e - s t s 1 0 - e - s t s 2 1 0

Aplicando os limites em cada parte:

∫ 0 1 t e - s t   d t = - e - s s + 1 - e - s s 2

Passo 3

Agora vamos chamar 2 - t de u e e - s t de d v na outra integral. Vai ficar assim:

∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t = - 2 - t s e - s t 2 1 + ∫ 1 2 e - s t s d t

Integrando a última integral:

∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t = - 2 - t s e - s t 2 1 - e - s t s 2 2 1

Substituindo os limites:

∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t = - 2 - t s e - 2 s - e - s - e - 2 s - e - s s 2

Colocando os sinais negativos ‘para dentro’ dos numeradores:

∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t = 2 - t s e - s - e - 2 s + e - s - e - 2 s s 2

Agora fazemos fator comum:

∫ 1 2 ( 2 - t ) e - s t   d t = e - s - e - 2 s 2 - t s + 1 s 2

Passo 4

Temos as duas integrais, precisamos só substituir la na equação do Passo 1:

∫ 0 ∞ e - s t f t   d t = - e - s s + 1 - e - s s 2 + e - s - e - 2 s 2 - t s + 1 s 2

Essa vai ser nossa transformada

L f ( t ) = - e - s s + 1 - e - s s 2 + e - s - e - 2 s 2 - t s + 1 s 2

Resposta

L f ( t ) = - e - s s + 1 - e - s s 2 + e - s - e - 2 s 2 - t s + 1 s 2

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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir: a )f( t )=t b )f( t )=t 2 c )f t = t n Em que n é um inteiro positivo.
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Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .5. f t = s e nt ,0 ≤ tπ 0 ,t ≥ π
Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .9.
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