Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27 , são dados os autovalores e autovetores de uma matriz A . Considere o sistema correspondente x ' = A x .

( a ) Esboce um retrato de fase do sistema

( b ) Esboce a trajetória que contém o ponto inicial ( 2,3 )

( c ) Para a trajetória no item ( b ) . Esboce os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos.

r 1 = - 1 ,       ξ 1 = - 1 2

r 2 = - 2 ,   ξ 2 = 1 2

Passo 1

A solução geral desse sistema será:

x = c 1 - 1 2 e - t + c 2 1 2 e - 2 t

E essa matriz A será dita como:

x ' = A x

A = a c b d

Portanto iremos encontrar os valores dessa matriz fazendo:

a + 1 c b d + 1 - 1 2 = 0

a + 2 c b d + 2 1 2 = 0

Na primeira equação teremos:

- a - 1 + 2 c = 0 → 2 c - a = 1

- b + 2 d + 2 = 0 → 2 d - b = - 2

E da segunda equação:

a + 2 + 2 c = 0 → a + 2 c = - 2

b + 2 d + 4 = 0 → b + 2 d = - 4

Da primeira e terceira equação nós encontramos:

c = - 1 4 ; a = - 3 2

E da segunda e da quarta nós teremos:

d = - 3 2 ; b = - 1

O que nos dá o seguinte sistema:

x ' = - 3 / 2 - 1 / 4 - 1 - 3 / 2 x

Considerando x = x 1 x 2 nós teremos:

x 1 ' = - 3 2 x 2 - 1 4 x 1

x 2 ' = - x 2 - 3 2 x 1

A representação vetorial desse sistema será:

Passo 2

Para a letra b basta colocar x = 2 e y = 3 na equação diferencial onde a primeira linha se trata de x ' e a segunda de y ' , (na verdade é x 1 ' e x 2 ' mas no winplot finge que é x e y para dar certo), então:

Ou seja nesse caso colocamos x 1 = 2 e x 2 = 3 . x 1 é a reta horizontal. E como a linha é decrescente em ( 2,3 ) então só teremos a parte a esquerda do ponto.

Passo 3

Seguindo o mesmo raciocínio é como se tivéssemos:

x 1 x 2 = c 1 - 1 2 e - t + c 2 1 2 e - 2 t

Então:

x 1 = - c 1 e - t + c 2 e - 2 t

x 2 = 2 c 1 e - t + 2 c 2 e - 2 t

Então para x 1 = 2 e x 2 = 3 e t = 0   , nós teremos:

2 = - c 1 + c 2

3 = 2 c 1 + 2 c 2

c 2 = 7 4

c 1 = - 1 4

Plotando esse gráfico nós obteremos x 1 sendo a curva vermelha e x 2 a azul. As curvas de x 1 e x 2 assim como o retrato de fase representam um sistema estável.

Resposta

a )   I m a g e m   d o   P a s s o   1

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   2

c )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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