Enunciado

Em cada um dos Problemas 7 e 8 :

( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado

( b ) Desenhe um campo de direções e algumas das trajetórias. Em cada um desses, a matriz de coeficientes tem um autovalor nulo. Como resultado, o padrão das trajetórias é diferente dos padrões nos exemplos do texto

x ' = 3 6 - 1 - 2 x

Passo 1

Se você leu a letra b , você tomou aí o spoiler de que um dos auto valores é nulo, mas vamos confirmar ao encontrar os autovalores dessa matrizinha aí:

det ⁡ 3 - r 6 - 1 - 2 - r = 0

Fazendo a determinante nós teremos:

3 - r - 2 - r + 6 = 0

r 2 + 2 - 3 r - 6 + 6 = 0

r 2 - r = 0

Então vemos que r = 0 e r = 1 , como respostas. Logo a solução geral ficará com a seguinte cara:

x = c 1 ξ 1 e t + c 2 ξ 2 e 0 = c 1 ξ 1 e t + c 2 ξ 2

Passo 2

Então o auto vetor ξ 1 para r = 1 será:

3 - 1 6 - 1 - 2 - 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Onde ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1

2 6 - 1 - 3 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

O que nos dá uma relação entre ξ 1 1 e ξ 2 1 igual a:

ξ 1 1 + 3 ξ 2 1 = 0

ξ 1 1 = - 3 ξ 2 1

Portanto o autovetor ξ 1 será igual a:

ξ 1 = 3 - 1

Pois é a solução da igualdade. Logo a solução por esse autovetor será de:

x 1 = c 1 3 - 1 e t

Passo 3

E agora o autovetor ξ 2 causada por r = 0 será de:

3 - 0 6 - 1 - 2 - 0 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Onde ξ 2 = ξ 1 2 ξ 2 2

3 - 0 6 - 1 - 2 - 0 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

3 6 - 1 - 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

O que nos dá uma relação entre ξ 1 2 e ξ 2 2 igual a:

ξ 1 2 = - 2 ξ 2 2

Então o autovetor ξ 2 será:

ξ 2 = 2 - 1

Logo a solução causada por esse autovalor será na ordem de:

x 2 = c 2 2 - 1

Logo a solução geral será a soma das duas soluções e que será:

x = c 1 3 - 1 e t + c 2 2 - 1

Passo 4

O campo de direções e algumas trajetórias possíveis nos dá a seguinte imagem abaixo:

Ele segue um padrão bem mais reto que os anteriores (do 1 ao 6). Acho que dá para notar que as duas linhas tanto na 7 quanto na 8 são linearmente dependentes (se multiplicar por 2 na 7 e -2 na 8 a primeira linha você chega no resultado da segunda linha), isso faz com que um dos autovalores seja nulo, causando esse comportamento.

Resposta

a )   x = c 1 3 - 1 e t + c 2 2 - 1

b )   I m a g e m   d o   p a s s o   4

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