Enunciado

Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.

27. ∫ 1 ∞ t - 2 e t   d t

Passo 1

Para resolvermos esse integral, e poder dizer se ela converge ou não, vamos usar o método de integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar e t de u e t - 2 de d v , o resultado fica:

∫ 1 ∞ t - 2 e t   d t = - 1 2 t - 1 e t ∞ 1 + 1 2   ∫ 1 ∞ t - 1 e t   d t

Substituindo os termos de infinito por A para depois a gente aplicar o limite:

∫ 1 A t - 2 e t   d t = - 1 2 t - 1 e t A 1 + 1 2   ∫ 1 A t - 1 e t   d t

Passo 2

Antes de resolvermos a última integral, vamos ver se a primeira parte diverge, se ela já divergir, não importa o resultado da segunda, já que a soma vai divergir. Aplicando os limites:

- 1 2 t - 1 e t A 1 = - 1 2 e A A + e 2

Aplicando o limite para A → ∞ :

lim A → ∞ ⁡ - 1 2 e A A + e 2

Passando o limite para dentro, já que alguns termos não dependem de A :

lim A → ∞ ⁡ - 1 2 e A A + e 2 = 1 2 e + lim A → ∞ ⁡ e A A

Agora podemos usar a regra de L’Hôpital e derivar em cima e em baixo para sumir a indeterminação ∞ / ∞ :

lim A → ∞ ⁡ e A A = lim A → ∞ ⁡ e A 1 = ∞

Como esse termo diverge, toda a primeira parte da integral vai divergir, então

∫ 1 A t - 2 e t   d t

Diverge.

Resposta

D i v e r g e

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