Enunciado

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Em cada um dos problemas de 28 a 31, é dada uma equação de Bernoulli. Em cada caso, resolva-ausando a substituição mencionada no Problema 27(b)

28.   t 2 y '   +   2 t y   –   y 3   =   0 ,   t   >   0

Passo 1

Antes de começarmos tenho que dizer que resolver as equações de bernoulli tem um grau maior de dificuldade que as equação separáveis, se não estiver acostumado com o método de resolução temos uma seção incrível de teoria no nosso site 😉. Bem uma equação de bernoulli tem o seguinte formato

y ' + p t y = q t y n

E para resolver vamos usar o método do termo integrante!!! Em geral a equação solução tem a seguinte cara

y = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

Onde nossa função I t   é

I t = e ∫ P t d t

Belezinha? Vamos cair dentro então \o/

Passo 2

NO exercício 27, descobrimos como manipular as equações de Bernoulli e deixar com uma aparência mais amistosa, com o seguinte formato

v ' + p v 1 - n = q 1 - n

Onde

v = y 1 - n

v ' = 1 - n y n ⋅ y '

E podemos agora resolver via Método do Termo Integrante. : )

Passo 3

Vamos pegar a equação do enunciado e manipular ela um pouco

t 2 y '   +   2 t y   –   y 3   =   0 ,

y ' + 2 t y = 1 t 2 y 3  

Agora transformando y → v , lembrando que neste caso n = 3

v ' + 2 t 1 - 3 v = 1 t 2 1 - 3

v ' - 4 t v = - 2 t 2

Agora sim temos uma equação limpa!!! Vamos Integrar agora, começando pelo termo integrante

Passo 4

I t = e ∫ P t d t

I t = e ∫ - 4 t d t

I t = e - 4 ln ⁡ t

I t = t - 4

Ótimo agora só falta amis um passo! E solucionamos essa eq. Diferencial

Passo 5

v = 1 I t ∫ I t   q t d t + C

v = 1 t - 4 ∫ t - 4 ⋅ - 2 t - 2     d t + C

v = t 4 2 5 t - 5 + C

v = 2 5 t + C t 4

SHOW!!! Conseguimos, agora é so voltarmos de v → y

v = y 1 - n

2 5 t + C t 4 = y 1 - n

Como nosso n = 3 podemos manipular para que fique mais claro a função de y

y = 2 5 t + C t 4 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = 2 5 t + C t 4 2

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