Enunciado

Se o wronskiano W de f e g é t^2 e^t e se f (t) = t , encontre g ( t ) .

Passo 1

A questão deu para a gente o wronskiano e a função f , podemos usar essas informações para escrever uma equação diferencial de g . Para isso, vamos usar a definição do wronskiano:

W (f , g) = d e t [[[f,g],[f,',g,']]] = t^2 e^t

O determinante fica:

W (f , g) = f g^' - g f^' = t^2 e^t

Substituindo f (t) = t dado no enunciado:

t g^' - g = t^2 e^t

Passo 2

Ao invés de escrevermos a equação na forma padrão, parece que vai ser mais fácil usarmos a equação do jeito que está. A equação é não homogênea como dá para ver, vamos resolver primeiro a homogênea dela:

t g^' - g = 0

Bom, é uma equação separável, vamos escrever ela em termos de diferenciais:

t d g = g d t

Separando:

(d t)/(t) = (d g)/(g)

Integrando dos dois lados:

ln t = ln (g)/(c_1)

Aplicando função exponencial dos dois lados para cortar os ln:

g ( t ) = c_1 t

A constante aparece por conta do grau de liberdade da equação diferencial.

Passo 3

Para o caso da não homogênea, basta somarmos uma função parecida com t^2 e^t na solução que encontramos no último passo, se usarmos a própria t^2 e^t , a equação diferencial não vai ser satisfeita, por causa do t que está multiplicando g ' , então a gente divide t^2 e^t por t para compensar:

(t^2 e^t)/(t) = t e^t

Somando o resultado na solução que calculamos antes:

g (t) = c_1 t + t e^t

Pronto, essa vai ser nossa g ( t ) .

Resposta

g (t) = c_1 t + t e^t

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