Enunciado

Verifique se y 1 t = 1 e y 2 t = t 1 / 2 são soluções da equação diferencial y y ' ' + y ' 2 = 0 para t > 0 . Depois mostre que c 1 + c 2 t 1 / 2 não é, em geral, solução dessa equação. explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.2.2

Passo 1

Vamos primeiro verificar se as duas funções dadas pelo enunciado são soluções da equação diferencial. Para isso, vamos precisar derivar elas duas vezes antes de substituir na equação. Derivando y 1 :

y 1 ' = 0

y 1 ' ' = 0

E derivando y 2 :

y 2 ' = 1 2 t - 1 2

y 2 ' ' = - 1 4 t - 3 2

Passo 2

Verificando y 1 :

( 1 ) ( 0 ) + 0 2 = 0

Dá para ver que satisfaz a equação diferencial.

E y 2 fica o seguinte:

t 1 2 - 1 4 t - 3 2 + 1 2 t - 1 2 2 = 0

Resolvendo o produto e a potência:

- 1 4 t - 1 + 1 4 t - 1 = 0

A função y 2 satisfaz a equação.

Passo 3

Podemos dizer então que a função y = c 1 + c 2 t 1 / 2 também não é solução já que uma das funções de antes aparece combinada com a outra, vamos mostrar substituindo ela na equação diferencial também. Primeiro derivamos:

y ' = 1 2 c 2 t - 1 / 2

y ' ' = - 1 4 c 2 t - 3 / 2  

Na equação diferencial fica:

( c 1 + c 2 t 1 / 2 )   - 1 4 c 2 t - 3 / 2   + 1 2 c 2 t - 1 / 2 2 = 0

Resolvendo o produto da esquerda e a potência na direita:

- 1 4 c 1 c 2 t - 3 2 - 1 4 c 2 2 t - 1 2 + 1 2 c 2 t - 1 = 0

Podemos ver que não satisfaz a equação. Isso não contraria o teorema 3.2.2, já que tanto y 1 quanto y 2 devem ser soluções para que a combinação linear também seja.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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