Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 26

a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a 0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a 0 .

b) Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor critico de a 0

c) Deescreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a 0

s e n t y ' + c o s t y = e t ,       y 1 = a ,     0 < t < π

Passo 1

a)

Passo 2

b)Vamos resolver pelo método...

y ' + c t g t y = e t s e n t  

Multiplicamos por μ t  

μ t y ' + μ t c o t g t y = μ t e t s e n t

De modo que

d μ t d t = μ t c o t g t   ⟹     d μ t μ t = c o t g t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = c o t g t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ c o t g t d t     ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ s e n t   ⟹   μ t = s e n t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t y ' + μ t c o t g t y = μ t e t s e n t

⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t s e n t t 2   ⟹   d   μ t   y = μ t e t s e n t

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ s e n t y =   ∫ s e n t e t s e n t d t = e t + C

y t   = ( e t + C ) s e n t

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 1   = e + C s e n 1 = a ⟹ C = a s e n 1 e

y t   = ( e t + a s e n 1 e ) s e n t

a 0 = e - 1 s e n 1

Passo 3

c) y → 1   p a r a   a = a 0

Resposta

y t   = ( e t + a s e n 1 e ) s e n t

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