Enunciado

Um pequeno lago contém, inicialmente, 1.000.000 de galões (aproximadamente 4.550.000 litros) de água e uma quantidade desconhecida de um produto químico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01   g r a m a dessa substância por galão a uma taxa de 300 galões por hora. A mistura sai à mesma taxa, de modo que a quantidade de água no lago permanece constante. Suponha que o produto químico esteja distribuído uniformemente no lago.

  1. Escreva uma equação diferencial para a quantidade de produto químico no lago em um instante qualquer.
  2. Qual a quantidade do produto químico que estará no lago após um período muito longo de tempo?

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos analisar as informações dadas no enunciado e tentar descrever uma equação que satisfaça todos os requisitos do problema. Além disso, para esse caso especifico, vamos nos atentar a unidade que usaremos para o problema, que será galões. Vamos juntos!!

Passo 2

  1. Bom, o enunciado nos diz algumas informações sobre o problema. Ele nos diz que entra 300 galões por hora com a substância indesejável e que essa mesma substância sai à mesma taxa porém do valor total da água em todo lago. Assim, temos que a equação ficará da forma
  2. d μ d t = 300 g a l õ e s h o r a ⋅ 0,01 g g a l ã o - 300 g a l õ e s h o r a ⋅ 1 1.000.000   g a l õ e s ⋅ μ =

    d μ d t = 3 g / h o r a - 300 × 10 - 6   h o r a - 1 ⋅ μ

    Passo 3

Vemos pelo campo de direções que todas as soluções tendem, para um t muito grande, 10 4   g de produto químico.

Resposta

  1. d μ d t = 3 g / h o r a - 300 × 10 - 6   h o r a - 1 ⋅ μ
  2. μ → 10 4   g

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