Enunciado

Em cada um dos problemas de 42 a 45, use o resultado do Problema 41 para determinar se a equação dada é exata. Se for,resolva-a

x 2 y ' ' + x y ' - y = 0 ,     x > 0

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o resultado do exercício anterior para determinar se é exata ou não. Para conseguirmos aplicar essa forma, teremos que escrever a equação na forma

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

para identificarmos todos os nossos coeficientes. Se a condição de

P ' ' - Q ' + R = 0

For satisfeita, então nossa equação será exata.

Passo 2

Bom, vamos lá! Vemos que logo de principio nossa equação já está na forma que precisamos. Assim, temos que nossos coeficientes são:

P x = x 2

Q x = x

R x = - 1

Aplicando na nossa equação, teremos que a mesma fica:

2 - 1 - 1 = 0

Ou seja, nossa equação é exata. Vamos resolve-lá então! Vemos que é possível escrever nossa equação da seguinte forma:

x 2 y ' ' - x y ' = 0

Se integrarmos a primeira vez, teremos a seguinte equação:

x 2 y ' - x y = c 1

1 x y ' - 1 x 2 y = c 1 x 3

Que é uma equação linear de primeira ordem. Vemos que dessa forma não precisamos encontrar fator integrante, logo temos apenas que rearranjar e integrar, ficando como:

1 x ⋅ y ' = c 1 x 3

Integrando, ficamos com:

y x = - 1 2 ⋅ c 1 x 2 + c 2

y x = c 3 x + x ⋅ c 2

Resposta

y x = c 3 x + x ⋅ c 2

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