Enunciado

Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.

sen ⁡ x ,   csc ⁡ x ;     ( 0 ,   π )

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, para as funções serem LI, o Wronskiano tem que ser diferente de zero em pelo menos um ponto no intervalo.

O Wronskiano (pra duas funções) é esse determinante aqui ó:

W =   f 1 f 2 f 1 ' f 2 '  

Vamos calcular no nosso caso então...

Passo 2

Substituindo as nossas funções e as derivadas delas:

W = sen ⁡ x csc ⁡ x cos ⁡ x - csc ⁡ x   cot ⁡ x

= - sen ⁡ x csc ⁡ x cot ⁡ x - csc ⁡ x cos ⁡ x

= - 2 cot ⁡ x

Observe que em algum (vários) ponto dentro do intervalo de ( 0 , π ) , temos que W ≠ 0 .

Como W ≠ 0 em pelo menos um ponto do intervalo, temos que as funções são linearmente independentes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado. x 1 2 ,x 2 ; ( 0 ,∞ )
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