Enunciado

Nos problemas 23-28, mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.

1 + x ,   x 3 ;     ( - ∞ ,   ∞ )

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, para as funções serem LI, o Wronskiano tem que ser diferente de zero em pelo menos um ponto no intervalo.

O Wroskiano (pra duas funções) é esse determinante aqui ó:

W =   f 1 f 2 f 1 ' f 2 '  

Vamos calcular no nosso caso então...

Passo 2

Substituindo as nossas funções e as derivadas delas:

W = 1 + x x 3 1 3 x 2

= 1 + x 3 x 2 - x 3

= 3 x 2 + 3 x 3 - x 3

= 3 x 2 + 2 x 3

= x 2 3 + 2 x

Observe que em algum (vários) ponto dentro do intervalo de ( - ∞ ,   ∞ ) , temos que W ≠ 0 .

Como W ≠ 0 em pelo menos um ponto do intervalo, temos que as funções são linearmente independentes!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,∞ . f 1 x = x ;f 2 x = x - 1 ; f 3 x = x + 3