Enunciado

Em cada um dos problemas de 6 a 9, encontre os coeficientes da expansão em autofunções da função dada, usando as autofunções normalizadas do Problema 1.

Passo 1

Escrevendo aqui a autofunção encontrada no problema 1 nós teremos:

ϕ n = 2 sin ⁡ λ x ; p a r a   n = 1,2 , 3 , …  

Para λ = 2 n - 1 π 2 , com isso nossa integral para o termo a n nós teremos:

a n = ∫ 0 1 2 1 ⋅ 2 sin ⁡ λ x d x + ∫ 1 2 1 0 ⋅ 2 sin ⁡ λ x d x

Já que f ( x ) é uma função composta então teremos duas integrais, portanto o termo a n fica:

a n = 2 λ - c o s λ x 0 1 2

a n = 2 λ 1 - cos ⁡ λ 2

Substituindo λ para que tenhamos uma função em termos de n :

a n = 2 2 2 n - 1 π 1 - cos ⁡ 2 n - 1 π 4  

Interpretando o cosseno, nós iremos ter valores de cosseno iguais a cos ⁡ π 4 , cos ⁡ 3 π 4 , cos ⁡ 5 π 4 , …  

O que nos dá valores de cosseno iguais a 2 2 , - 2 2 , - 2 2 , 2 2 , …

Resposta

a n = 2 2 2 n - 1 π 1 - cos ⁡ 2 n - 1 π 4  

p a r a   n = 1,2 , 3 , …

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