Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações.

2.

t u x x + x u t = 0

Passo 1

Fala galera!!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial parcial

x u x x + u t = 0

Nosso objetivo é resolver a equação diferencial parcial, usando o método da separação de variáveis.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis, vamos supor que a solução da equação diferencial parcial seja dada da seguinte forma:

u x , t = X x T t

Agora, podemos diferenciar parcialmente a equação acima em relação a ' x ' .

u x = X ' x T t

Podemos diferencia novamente em relação a ' x ' . Assim temos:

u x x = X ' ' x T t

Podemos também diferencia em relação a ' t ' . Assim temos:

u t = X x T ' t

Passo 3

Com os resultados obtidos no passo anterior, podemos substituir u x x e u t na equação diferencial parcial. Assim temos:

t X ' ' x T t + x X x T ' t = 0

Ou seja:

t X ' ' T + x X T ' = 0

Reorganizando, temos:

1 x ⋅ X ' ' X = - 1 t ⋅ T ' T

Podemos dizer que os termos são iguais a uma constante λ . Assim temos:

1 x ⋅ X ' ' X = - 1 t ⋅ T ' T = λ

Ou seja:

- 1 t ⋅ T ' T = λ

- T ' = λ t T

T ' + λ t T = 0

Também podemos dizer que:

1 x ⋅ X ' ' X = λ

X ' ' = λ x X

X ' ' - λ x X = 0

Portanto, a equação diferencial parcial pode ser separada como um par de equações diferenciais ordinárias:

T ' + λ t T = 0

X ' ' - λ x X = 0

Resposta

T ' + λ t T = 0

X ' ' - λ x X = 0

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