Enunciado

Considere uma barra metálica com 20 cm de comprimento, aquecida a uma temperatura uniforme de 100°C. Suponha que, em t = 0, as extremidades da barra estão mergulhadas em um banho gelado a 0°C e depois mantidas a essa temperatura, mas não é permitido escapar calor pela superfície lateral. Encontre uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra em um instante posterior. Determine a temperatura no centro da barra no instante t = 30 s se a barra for feita de (a) prata, (b) alumínio, (c) ferro fundido.

Passo 1

Temos a EDP de segunda ordem reduzido para sistema de ODE de segunda ordem. A solução u ( x , t ) é um produto de duas funções de variáveis únicas:

X ' ' + λ X =   0   =   T ' + α 2 λ T

X n ( x )   =   s e n ( n π x l )

Satisfaz as condições de contorno:

u ( x , t ) = e - n 2 π 2 α 2 t l 2 s e n ( n π x 20 ) .

Agora vamos achar c n :

c n = 2 20 ∫ 0 20 s e n ( n π x 20 ) d x . = 200 n π [ - c o s ( n π x 20 ) ] 0 20

Agora substituindo, temos:

u ( 10,30 ) =   ∑ n = 1 ∞ e - n 2 π 2 α 2 30 20 2 2 s e n ( n π 2 ) = 35.9 ℃ .

para n ímpar

u ( 10,30 ) = 67 ℃

u ( 10,30 ) = 100 ℃

Para a prata:

u ( 10,30 ) converge depois n = 1

Para alumínio:

u ( 10,30 ) converge depois n = 1

Para ferro fundido:

u ( 10,30 ) converge depois n = 5

Resposta

Para a prata:

u ( 10,30 ) converge depois n = 1

Para alumínio:

u ( 10,30 ) converge depois n = 1

Para ferro fundido:

u ( 10,30 ) converge depois n = 5

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Para a barra no Problema 12:Faça o gráfico de u em função de x para t = 5, 10, 20, 40, 100 e 200.Para cada valor de t usado no item (a), estime o valor de x para o qual a temperatura é amaior de todas
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
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