Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações.

1.

x u x x + u t = 0

Passo 1

Fala galera!!!

Nos foi dado a seguinte equação diferencial parcial

x u x x + u t = 0

Nosso objetivo é resolver a equação diferencial parcial, usando o método da separação de variáveis.

Passo 2

Para resolver a equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis, vamos supor que a solução da equação diferencial parcial seja dada da seguinte forma:

u x , t = X x T t

Agora, podemos diferenciar parcialmente a equação acima em relação a ' x ' .

u x = X ' x T t

Podemos diferencia novamente em relação a ' x ' . Assim temos:

u x x = X ' ' x T t

Podemos também diferencia em relação a ' t ' . Assim temos:

u t = X x T ' t

Passo 3

Com os resultados obtidos no passo anterior, podemos substituir u x x e u t na equação diferencial parcial. Assim temos:

x X ' ' x T t + X x T ' t = 0

Ou seja:

x X ' ' T + X T ' = 0

Reorganizando, temos:

x X ' ' X = - T ' T

Podemos dizer que os termos são iguais a uma constante λ . Assim temos:

x X ' ' X = - T ' T = λ

Ou seja:

- T ' T = λ

- T ' = λ T

T ' + λ T = 0

Também podemos dizer que:

x X ' ' X = λ

x X ' ' = λ X

x X ' ' - λ X = 0

Portanto, a equação diferencial parcial pode ser separada como um par de equações diferenciais ordinárias:

T ' + λ T = 0

x X ' ' - λ X = 0

Resposta

T ' + λ T = 0

x X ' ' - λ X = 0

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Se
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