Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ' ' x 0 ,   ϕ ' ' ' x 0 e ϕ 4 x 0 para o ponto dado x 0 , se y = ϕ ( x 0 ) é uma solução do problema de valor inicial dado.

y ' ' + x y ' + y = 0 ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 0

Passo 1

Tá legal! Vamos começar esse exercício admitindo que ϕ seja solução da equação diferencial fornecida. Então, para ϕ ' ' x 0 teremos:

ϕ ' ' + x ϕ ' + ϕ = 0 → ϕ ' ' = - x ϕ ' - ϕ

Substituindo os valores de interesse no ponto x 0 = 0 , teremos:

ϕ ' ' 0 = - 0 0 - 1 → ϕ ' ' 0 = - 1

Passo 2

Agora, derivando a expressão para ϕ ' ' obtida no passo 1, temos:

ϕ ' ' ' = - ϕ ' - x ϕ ' ' - ϕ '

Substituindo os valores de interesse para o ponto x 0 = 0 temos:

ϕ ' ' ' 0 = - 0 - 0 - 1 - 0 → ϕ ' ' ' 0 = 0

Passo 3

E, agora, vamos derivar a expressão obtida no passo 2 para ϕ ' ' ' :

ϕ 4 = - ϕ ' ' - ϕ ' ' - x ϕ ' ' ' - ϕ ' '

Substituindo os valores de interesse para o ponto x 0 = 0 temos:

ϕ 4 0 = - - 1 - ( - 1 ) - 0 0 - - 1 → ϕ 4 0 = 3

Resposta

ϕ ' ' 0 = - 1

ϕ ' ' ' 0 = 0

ϕ 4 0 = 3

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