Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.

d r d t = r 2 1 - r 2 ,     d θ d t = 1

Passo 1

Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:

d r d t = r 2 1 - r 2 = 0

Daqui temos duas possibilidades:

r 2 = 0 → r = 0

1 - r 2 = 0 → r = ± 1

Então, temos 3 pontos críticos, são eles:

r 1 = 0 ; r 2 = 1 ; r 3 = - 1

No entanto, como não podemos ter um círculo com raio negativo, para r ≥ 0 temos:

r 1 = 0 ; r 2 = 1

Passo 2

Então, teremos:

0 < r < 1 → d r d t > 0

r > 1 → d r d t < 0

Dessa forma, temos que r = 0 corresponde a um ponto crítico instável. Já no ponto r = 1 temos um ponto assintoticamente estável.

Passo 3

E, o ciclo limite por sua vez é dado por:

r = 1 ; d θ d t = 1

Então, teremos:

d θ d t = 1 → θ = t + t 0

Que é assintoticamente estável.

Resposta

r 1 = 0   i n s t á v e l

r 2 = 1   ( a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l )

θ = t + t 0

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