Enunciado

Formalmente, mostre que y = tan ⁡ x satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y 0 = 0 .

Passo 1

Queremos mostrar que y = tan ⁡ x é solução da equação diferencial: d y d x = 1 + y ²

E que satisfaz a condição inicial y 0 = 0

Já podemos começar comprovando que ele satisfaz a condição inicial, pois:

y 0 = tan ⁡ 0

y 0 = 0

Belezinha, comprovado!

Agora vamos mostrar que ele é solução da equação diferencial

Passo 2

Temos y = tan ⁡ x e a equação diferencial:

d y d x = 1 + y ²

Vamos substituir y para comprovarmos que a igualdade é verdadeira:

tan ⁡ x ' = 1 + t a n ² ( x )

Lá de cálculo 1, sabemos que a derivada de t a n ⁡ ( x ) é s e c ² ( x ) :

s e c 2 x = 1 + t a n ² ( x )

Por identidade trigonométrica, sabemos que s e c 2 x = 1 + t a n ² ( x ) , portanto, realmente chegamos em uma igualdade verdadeira e então y = tan ⁡ x é solução da equação diferencial :D

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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