Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 1 1 4 - 2 x + e - 2 t - 2 e t  

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 1 1 4 - 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 1 - r 1 4 - 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + r - 6

Tendo as raízes:

r 1 = - 3

r 2 = 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 3 , temos:

A - r I ξ = 0

4 1 4 1 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

4 ξ 1 = - ξ   2

Para r = - 3 :

ξ 1 = 1 - 4

x 1 t = 1 - 4 ∙ e - 3 t

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 2 , temos:

A - r I v = 0

- 1 1 4 - 4 ∙ v v ' = 0

Reduzindo o sistema para:

v = v '

Para r = 2 :

v = 1 1

x 2   = 1 1 e 2 t

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 2 1 - 4 ∙ e - 3 t + c 1 1 1 e 2 t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 1 1 - 4 1

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = 1 5 1 - 1 4 1

Tendo x = T y , assumindo e - 2 t - 2 e t   = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

y ' = - 3 0 0 2 y + 1 5 1 - 1 4 1 e - 2 t - 2 e t  

y ' = - 3 0 0 2 y 1 y 2 + 1 5 1 - 1 4 1 e - 2 t - 2 e t  

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y ' = - 3 0 0 2 y 1 y 2 + 1 5 1 - 1 4 1 e - 2 t - 2 e t  

Temos que y 1 :

y 1 ' = - 3 y 1 + 1 5 e - 2 t + 2 5 e t

Tendo como:

y 1 ' + 3 y 1 = 1 5 e - 2 t + 2 5 e t

Temos nossa equação escrita da seguinte forma:

y ' + p t y = q t

Executando fator de integração:

u t = e ∫ p t d t

u t = e 3 t

Agora multiplicando o fator u t pela equação, temos:

e 3 t y 1 ' + 3 y 1 = 1 5 e - 2 t + 2 5 e t e 3 t

d d t e 3 t + 3 e 3 t y 1 = e t 5 + 2 5 e 4 t

3 e 3 t + 3 e 3 t y 1 = e t 5 + 2 5 e 4 t + c 1

Portanto y 1 fica:

y 1 = e 2 t 5 + e t 10 + c 1 e - 3 t

Repetindo os mesmos passos para y 2 , temos:

y 2 = - e - 2 t 5 + 2 5 e t + c 2 e 2 t

Tendo resultado final como:

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 1 1 - 4 1 ∙ e 2 t 5 + e t 10 + c 1 e - 3 t - e - 2 t 5 + 2 5 e t + c 2 e 2 t  

Efetuando a multiplicação temos:

x = c 1 1 4 e - 3 t + c 2 1 1 e 2 t + 0 - 1 e - 2 t + 1 / 2 0 e t

Resposta

x = c 1 1 4 e - 3 t + c 2 1 1 e 2 t + 0 - 1 e - 2 t + 1 / 2 0 e t

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