Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = - 3 2 2 - 2 x + e - t - e - t

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = - 3 2 2 - 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = - 3 - r 2 2 - 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 5 r + 4

Tendo as raízes:

r 1 = - 1

r 2 = - 4

Vamos agora determinar o autovetor, colocando r = - 4 , temos:

A - r I v = 0

1 2 2 2 ∙ v v ' = 0 0

Reduzindo o sistema para:

v = - 2 v '

Para r = - 4 :

v = 2 1

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 1 , temos:

A - r I ξ = 0

- 2 2 2 - 1 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

- 2 ξ 1 = - 2 ξ   2

Para r = - 2 :

ξ 1 = 1 2

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 1 2 1 e - 4 t + c 2 1 2 e - 2 t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 1 3 2 1 - 1 2

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = 1 3 2 - 1 1 2 =

Tendo x = T y , assumindo e - t - e - t = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

Executando o que acabamos de ilustrar:

x = T y

x ' = - 3 2 2 - 2 x + e - t - e - t

1 3 2 1 - 1 2 y ' = - 3 2 2 - 2 2 / 3 1 / 3 - 1 / 3 2 / 3 y + e - t - e - t

Multiplicando toda equação por T - 1 :

T - 1 2 1 - 1 2 y ' = T - 1 - 3 2 2 - 2 2 1 - 1 2 y + T - 1 e - t - e - t

I y ' = T - 1 A T y + 2 / 3 - 1 / 3 1 / 3 2 / 3 e - t - e - t

y ' = T - 1 A T y + 2 / 3 - 1 / 3 1 / 3 2 / 3 e - t - e - t

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y ' = T - 1 A T y + 2 / 3 - 1 / 3 1 / 3 2 / 3 e - t - e - t

Temos que y 1 ’:

y 1 ' = - 4 y 1 + 1 3 2 + 1 e - t

Tendo y 2 ' :

y 2 ' = - y 2 + 1 3 - 2 + 1 e - t

Utilizando qualquer método elementar de primeira ordem para resolver esta EDO, temos que:

y 1 t = k 1 e - 4 t + 1 3 2 + 1 e - t

y 2 t = k 2 e - t + 1 3 - 2 + 1 e - t

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 2 / 3 1 / 3 - 1 / 3 2 / 3 ∙ k 1 e - 4 t + 1 3 2 + 1 e - t k 2 e - t + 1 3 - 2 + 1 e - t  

Efetuando a multiplicação temos:

x = c 1 e - 4 t 2 - 1 + c 2 e - t 1 2 + 1 9 2 + 2 + 3 3 3 6 - 2 - 1 e - t + t e - t 3 1 - 2 2 - 2  

Resposta

x = c 1 e - 4 t 2 - 1 + c 2 e - t 1 2 + 1 9 2 + 2 + 3 3 3 6 - 2 - 1 e - t + t e - t 3 1 - 2 2 - 2  

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