Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6 :

( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞

( b ) Desenhe um campo de direções e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema

x ' = 1 - 2 3 - 4 x

Passo 1

A solução geral dessas equações diferenciais tem a cara igual a:

x = c 1 ξ 1 e r 1 t + c 2 ξ 2 e r 2 t

Onde ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1 e ξ 2 = ξ 1 2 ξ 2 2

E nós encontramos r (que são os auto valores) e ξ (que são os auto vetores), e esses parâmetros podem ser descobertos ao fazer:

1 - r - 2 3 - 4 - r ξ 1 ξ 1 = 0

Onde a parte nula é a parte do auto valor e que será:

1 - r - 2 3 - 4 - r = 0

Fazendo o determinante dessa matriz temos:

1 - r - 4 - r - 3 × - 2 = 0

r 2 + 3 r + 2 = 0

Então os auto valores serão:

r 1 ; r 2 = ( - 1 ; - 2 )

Passo 2

Substituindo os auto valores na matriz teremos os autovetores e que serão para r = - 1 :

1 + 1 - 2 3 - 4 + 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

2 - 2 3 - 3 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Fazendo a multiplicação vetorial nós teremos:

2 ξ 1 1 - 2 ξ 2 1 = 0

3 ξ 1 1 - 3 ξ 2 1 = 0

E ξ 1 e ξ 2 se correlacionam de forma que:

ξ 1 1 = ξ 2 1

Então o autovetor associado a r 1 = - 1 será:

ξ 1 = 1 1

Logo a primeira solução será:

x 1 = c 1 1 1 e - t

Passo 3

E o auto vetor para r = - 2 será:

1 + 2 - 2 3 - 4 + 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

3 - 2 3 - 2 ξ 1 ξ 2 = 0

Então pela multiplicação vetorial temos

3 ξ 1 2 = 2 ξ 2 2

Então o segundo autovetor (associado a r = - 2 ) será:

ξ 2 = 2 3

Nos dando uma segunda solução igual a:

x 2 = c 2 2 3 e - 2 t

Logo a solução geral da EDO será a soma das duas soluções e será:

x = c 1 1 1 e - t + c 2 2 3 e - 2 t

Passo 4

Desenhando o campo de direções dessa EDO nós iremos ter:

Resposta

a )   x = c 1 1 1 e - t + c 2 2 3 e - 2 t

b )   D e s e n h o   d o   P a s s o   4

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