Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x

a)Mostre que r = 2 é um autovalor de multiplicidade 3 da matriz de confiecnetes A e que existe apenas um autovetor independe associado, a saber,

ξ 1 = 0 1 - 1

Passo 1

Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 - r 0 0 0 r 0 0 0 r

det ⁡ A - r I = 1 - r 1 1 2 1 - r - 1 - 3 2 4 - r

det ⁡ A - r I = - r 3 + 6 r 2 - 12 r + 8

Tendo as raízes:

r 1 , 2,3 = 2

Passo 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 2 , temos:

A - r I ξ = 0

- 1 1 1 2 - 1 - 1 - 3 2 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

- 2 1 1 1 - 2 1 1 1 - 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Escalonando a matriz:

1 0 0 0 1 1 0 0 0 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Para r = 2 :

ξ 1 = 0 1 - 1

x ( 1 ) t = 0 1 - 1 ∙ e 2 t

E este vetor é exatamente oque desejamos mostrar.

Resposta

x ( 1 ) t = 0 1 - 1 ∙ e 2 t

E este vetor é exatamente oque desejamos mostrar.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas: (a) Determine os autovalores em função de α. (b) Encontre o valor ou valores críticos
28- Uma massa m em uma mola com constante k satisfaz a equação diferencial (veja a Seção 3.7 ) m v ' ' + k v = 0 Em que v ( t ) é o deslocamento da massa no instante t a partir de sua posição de equil
Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas: (a) Determine os autovalores em função de α. (b) Encontre o valor ou valores críticos
Resolva o problema de valor inicial x ' = - 1 - 4 1 - 1 x , x 0 = 3 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 6.
Resolva o problema de valor inicial x ' = 2 - 1 3 - 2 x , x 0 = 2 - 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 3.