Enunciado

Considere o sistema

x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x

a) Mostre que r = 1 é um autovalor triplo da matriz de coeficientes A e que existem dois autovetores associados lineramente indepednetes, que podemos escolher como:

ξ 1 = 1 0 2 ,         ξ 2 = 0 2 - 3

Encontre duas soluções linearmente independentes x ( 1 ) ( t ) e x ( 2 ) ( t ) da Eq. x ’ .

Passo 1

a)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 - r 0 0 0 r 0 0 0 r

det ⁡ A - r I = 5 - r - 3 - 2 8 - 5 - r - 4 - 4 3 3 - r

det ⁡ A - r I = r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1

Tendo as raízes:

r 1,2 , 3 = 1

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 1 , temos:

A - r I ξ = 0

4 - 3 - 2 8 - 6 - 4 - 4 3 2 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0

Reduzindo o sistema para:

4 ξ 1 - 3 ξ 2 - 2 ξ 3 = 0

Para r = 1 :

ξ 1 = 1 0 2

x ( 1 ) t = 1 0 2 ∙ e t

Com ultimo sistema que temos possui duas variáveis livres, podemos calcular a segunda variável independente com um vetor próprio associado a r = 1 .

Com o mesmo sistema anterior:

4 ξ 1 - 3 ξ 2 - 2 ξ 3 = 0

ξ 2 = 0 2 - 3

Logo:

x ( 1 ) t = 1 0 2 ∙ e t

x ( 2 ) t = 0 2 - 3 ∙ e t

Resposta

x ( 1 ) t = 1 0 2 ∙ e t

x ( 2 ) t = 0 2 - 3 ∙ e t

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