Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado.

6. cos 2 ⁡ θ , 1 + c o s 2 θ

Passo 1

O wronskiano é o determinante da matriz:

W = d e t y 1 y 1 ' y 2 y 2 '

Onde y 1 e y 2 são as funções dadas.

Passo 2

A derivada de cada função em relação a θ vai ser:

d y 1 d θ = - 2 s e n θ c o s θ

d y 2 d θ = - 2 s e n 2 θ

O wronskiano fica:

W = d e t cos 2 ⁡ θ - 2 s e n θ c o s θ 1 + c o s 2 θ - 2 s e n 2 θ

Passo 3

Resolvendo o determinante:

W = - 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ - ( - 2 s e n θ c o s θ - 2 s e n θ c o s θ c o s 2 θ )

Podemos reescrever um dos termos usando uma identidade trigonométrica:

2 s e n θ c o s θ = s e n 2 θ

Ficamos com:

W = - 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ - ( - s e n 2 θ - s e n 2 θ c o s 2 θ )

Tirando fator comum:

W = - 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ + s e n 2 θ ( 1 + c o s 2 θ )

E usando de novo outra identidade:

cos 2 ⁡ θ = 1 + c o s 2 θ 2

Fica:

W = - 2 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ + 2 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ = 0

Resposta

W = 0

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