Enunciado

Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.

5. Equação diferencial: y ' + y = 2 1 + 4 . e 2 x

Condição inicial: y ( - ln ⁡ 2 ) = π 2

Candidata à solução: y = e - x . t g - 1 2 e x

Passo 1

Nesse tipo de problema, galera, o que precisamos fazer é encontrar quanto vale y ' . Ok, mas para que encontrar y ' ? Uma vez encontrado, precisamos substituir seu valor lá na equação diferencial que nos foi dada, que é essa aqui:

y ' + y = 2 1 + 4 . e 2 x

Após escrevermos a equação diferencial com y ' substituído, o que devemos fazer é aplicar o ponto (valor inicial) para vermos se realmente bate o resultado! Ficou confuso? Bora começar a resolver pra facilitar descomplicar isso aí!

Para derivarmos y , devemos utilizar a regra do produto:

y ' = u ' . v + u . v '

No qual:

u = e - x

u ' = e - x . ln ⁡ e . - x ' ⇒ u ' = - e - x

v = t g - 1 2 e x

v ' = 2 e x ' 1 + 2 e x 2 ⇒ v ' = 2 e x 1 + 4 e 2 x

Aqui vale ressaltar que para descobrirmos u ' utilizamos a regra da derivada de uma função exponencial. Já para descobrirmos v ' , utilizamos a fórmula da derivada do arco tangente, que já é uma derivada tabelada, ok? Caso ainda não tenha ficado claro essas derivações, uma sugestão muito interessante é dar uma olhada lá no capítulo 5 do George, beleza? Bora lá!

Passo 2

Agora que temos u ' e v ' , basta substiturimos lá na regra do produto, olha só:

y ' = - e - x . t g - 1 2 e x + e - x . 2 e x 1 + 4 e 2 x

Agora que descobrimos y ' , vamos substituir lá na equação diferencial, olha só:

y ' + y = 2 1 + 4 . e 2 x

- e - x . t g - 1 2 e x + e - x . 2 e x 1 + 4 e 2 x + e - x . t g - 1 2 e x = 2 1 + 4 . e 2 x

e - x . 2 e x 1 + 4 e 2 x = 2 1 + 4 . e 2 x

∴ 2 1 + 4 e 2 x = 2 1 + 4 . e 2 x

Passo 3

Agora que provamos que y é realmente solução da equação diferencial, podemos testar se ela também é para o valor inicial dado, olha só:

y ( - ln ⁡ 2 ) = π 2

y = e - - l n 2 . t g - 1 2 e - ln ⁡ 2 )  

∴ y = 2 . π 4 = π 2  

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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