Enunciado

Nos Exercícios 5-8, mostre que cada função é uma solução do problema de valor inicial dado.

7. Equação diferencial: x y ' + y = - s e n   x

Condição inicial: y π 2 = 0

Candidata à solução: y = cos ⁡ x x

Passo 1

Nesse tipo de problema, galera, o que precisamos fazer é encontrar quanto vale y ' . Ok, mas para que encontrar y ' ? Uma vez encontrado, precisamos substituir seu valor lá na equação diferencial que nos foi dada, que é essa aqui:

x y ' + y = - s e n   x

Após escrevermos a equação diferencial com y ' substituído, o que devemos fazer é aplicar o ponto (valor inicial) para vermos se realmente bate o resultado! Ficou confuso? Bora começar a resolver pra facilitar descomplicar isso aí!

Para derivarmos y , devemos utilizar a regra do quociente:

y ' = u ' . v - u . v ' v 2

No qual:

u = cos ⁡ x

u ' = - s e n   x

v = x

v ' = 1

Passo 2

Agora que temos u ' e v ' , basta substituirmos lá na regra do quociente, olha só:

y ' = - s e n   x . x - cos ⁡ x . 1 x 2

Agora que descobrimos y ' , vamos substituir lá na equação diferencial, olha só:

x y ' + y = - s e n   x

x . - s e n   x . x - cos ⁡ x . 1 x 2 + cos ⁡ x x = - s e n   x

- s e n   x - cos ⁡ x x + cos ⁡ x x = - s e n   x

∴ - s e n   x = - s e n   x

Passo 3

Agora que provamos que y é realmente solução da equação diferencial, podemos testar se ela também é para o valor inicial dado, olha só:

y π 2 = 0

y = cos ⁡ π 2 π 2

∴ y = 0

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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