Enunciado

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

2.

y ' ' ' - y ' = t

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' = t

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 3 - r = 0

r ( r 2 - 1 ) = 0

Temos portanto que:

r = 0

E da expressão entre parênteses:

r 2 - 1 = 0

r 2 =   1

r = ± 1

Assim, teremos as seguintes raízes:

r 1 = 0

r 2 = 1

r 3 = - 1

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos raízes distintas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 + C 2 e t + C 3 e - t

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros, aqui escolhi u n .

Y p = u 1 + u 2 e t + u 3 e - t

Agora precisamos montar um sistema de matrizes:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Trazendo para o nosso exemplo isso ficaria da seguinte forma:

u 1 ' 1 + u 2 ' e t + u 3 ' e - t = 0         ( 1 )

u 1 ' 0 + u 2 ' e t - u 3 ' e - t = 0       ( 2 )

u 1 ' 0 + u 2 ' e t + u 3 ' e - t = t     ( 3 )

Vem comigo que você já vai entender! A lógica aqui é a seguinte... Repare que coloquei na equação (1), a seguinte expressão:

u 1 ' 1 + u 2 ' e t + u 3 ' e - t = 0

Aqui foi feito, somente a derivação das funções u 1 ,   u 2   e   u 3 , você deve sempre fazer isso partindo da solução particular e seguindo a forma para montagem do sistema de matrizes. Os termos y 1 ,   y 2   a t é   y n ,   o n d e   n o   n o s s o   c a s o   t e m o s   n = 3   ,   s ã o :

y 1 = 1

y 2 = e t

y n = y 3 = e - t

Isso também vem da solução particular. Aí é só ir montando a matriz como trazido no exemplo genérico. Para montá-la, precisaremos derivar os termos y 1 ,   y 2 ,   y 3 .

Mas como saber em qual ordem de derivada vou parar?

Como aqui temos n=3

n - 1 = 3 - 1 = 2   ( V a m o s   p a r a r   n a   s e g u n d a   d e r i v a d a )  

Logo vocês precisaram fazer a primeira derivada de cada y na linha (2), e a segunda derivada de cada y , na linha (3). Ah!! E a única igualdade que será diferente de zero será a da última linha, que por sua vez, será igualada ao que tem na sua solução particular, que nesse caso é t .

Matou?!! Isso que significa aquelas n equações algébricas genéricas!

Passo 4

Vamos agora montar um sistema com a equação (2) e (3):

u 2 ' e t - u 3 ' e - t = 0     ( 4 ) u 2 ' e t + u 3 ' e - t = t     ( 5 )

Da equação (4) isolando u 2 ' ,   t e r e m o s :

u 2 ' = u 3 ' e - t e t = u 3 ' e - 2 t   ( 6 )

Substituindo (6) em (5):

u 3 ' e - 2 t e t + u 3 ' e - t = t

u 3 ' e - t + u 3 ' e - t = t

2 u 3 ' e - t = t

u 3 ' =   1 2 t e - t = 1 2 t e t     ( 7 )

Substituindo (7) em (6) obteremos:

u 2 ' =   1 2 t e t e - 2 t = 1 2 t e - t   ( 8 )

Substituindo (7) e (8) em (1):

u 1 ' +   1 2 t e - t e t + 1 2 t e t e - t = 0

u 1 ' + t = 0

u 1 ' = - t

Passo 5

Vamos agora resolver as integrais de u 1 ' ,   u 2 '   e   u 3 ' do passo anterior, encontrando assim: u 1 ,   u 2 e   u 3 .

u 1 =   - ∫ t d t = - t 2 2

u 2 = 1 2 ∫ t e - t d t =   - e - t 2 ( t + 1 )

u 3 = 1 2 ∫ t e t   d t =   e t 2 ( t - 1 )  

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p = - t 2 2   - e - t 2 ( t + 1 ) e t + e t 2 ( t - 1 ) e - t  

Y p =   - t 2 2 - t + 1 2 + t - 1 2 =   - t 2 2 - 1  

Portanto agora temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t =   y t = C 1 + C 2 e t + C 3 e - t - t 2 2

Note que a constante -1 da solução particular não apareceu na solução geral, porque ela já era solução da equação homogênea associada (Constante C 1 ).

Resposta

y t =   y t = C 1 + C 2 e t + C 3 e - t - t 2 2

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