Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

3.

y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0

As possíveis raízes desse polinômio serão:

r = ± 1 , ± 2 ,   ( D i c a :   O l h e   p o r   q u a i s   n ú m e r o s   o   t e r m o   q u e   e s t á   n o   f i n a l   é   d i v i s í v e l )

Testando:

p - 1 = 0

p 1 = 0

p 2 = 0

p - 2 = - 16   ( n ã o   é   r a í z )

Logo as raízes do polinômio são:

r 1 = - 1

r 2 = 1

r 3 = 2

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos raízes distintas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 e - t + C 2 e t + C 3 e 2 t

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi u n .

Y p = u 1 e - t + u 2 e t + u 3 e 2 t   ( S o l u ç ã o   p a r t i c u l a r )

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de u 1 ,   u 2   e   u 3   p a r a   i n s e r i r   n a   s o l u ç ã o   p a r t i c u l a r

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

u m ' t = g t W m t W t         e m   q u e   m = 1,2 , … , n

Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:

g t = e 4 t

W t = W y 1 , y 2 , … , y n t e   W m é   o   d e t e r m i n a n t e   o b t i d o   d e   W   s u b s t i t u i n d o   a   m - é s i m a   c o l u n a   p e l a   c o l u n a   ( 0,0 , … , 0,1 )

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Passo 4

Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

y 1 = e - t ,   y 2 = e t   e   y 3 = e 2 t ,   q u e   s ã o   a s   f u n ç õ e s   q u e   a c o m p a n h a m   u 1 ,   u 2 e   u 3 s a c o u ?

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! ( D e r i v a r   a t é   y 1 ' ' ,   y 2 ' ' e   y 3 ' '   ) . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.

W e - t ,   e t , e 2 t = e - t e t e 2 t - e - t e t 2 e 2 t e - t e t 4 e 2 t = 6 e 2 t  

Agora precisamos descobrir o determinante de W 1 ,   W 2 e   W 3 :

W 1 t = 0 e t e 2 t 0 e t 2 e 2 t 1 e t 4 e 2 t = e 3 t

W 2 t = e - t 0 e 2 t - e - t 0 2 e 2 t e - t 1 4 e 2 t = - 3 e t  

W 3 ( t ) = e - t e t 0 - e - t e t 0 e - t e t 1 = 2  

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar u 1 ' ,   u 2 ' e   u 3 '

u 1 ' t = g t W 1 t W t = e 4 t e 3 t 6 e 2 t = 1 6 e 5 t

u 2 ' t = g t W 2 t W t = e 4 t ( - 3 e t ) 6 e 2 t = - 1 2 e 3 t

u 3 ' t = g t W 3 t W t = e 4 t ( 2 ) 6 e 2 t = 1 3 e 2 t

Passo 5

Vamos resolver as integrais de u 1 ' ,   u 2 '   e   u 3 ' do passo anterior, encontrando assim: u 1 ,   u 2 e   u 3 .

u 1 = 1 6 ∫ t 0 t e 5 s d s = 1 30 e 5 t

u 2 = - 1 2 ∫ t 0 t e 3 s d s = - 1 6 e 3 t  

u 3 = 1 3 ∫ t 0 t e 2 s d s =   1 6 e 2 t

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p = 1 30 e 5 t e - t - 1 6 e 3 t e t + 1 6 e 2 t e 2 t = e 4 t 30

Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t = C 1 e - t + C 2 e t + C 3 e 2 t + e 4 t 30

Resposta

y t = C 1 e - t + C 2 e t + C 3 e 2 t + e 4 t 30

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.5. y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = e - t sen ⁡ t
Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.8. y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t0tπ