Enunciado

Para cada um dos problemas de valor inicial a seguir, use os resultados do Problema 29 para encontrar a equação diferencial satisfeita por  Y ( s )   =   £ { ϕ ( t ) } , em que  y   =   ϕ ( t ) é a solução do problema de valor inicial dado.

( a ) y ″   -   t y   =   0 ;               y ( 0 )   =   1 ,             y '   ( 0 )   =   0             ( e q u a ç ã o   d e   A i r y )

( b ) ( 1 –   t 2 ) y ″   –   2 t y '   +   α ( α +   1 ) y   =   0 ;             y ( 0 )   =   0 ,             y '   ( 0 )   =   1             ( e q u a ç ã o   d e   L e g e n d r e )

Note que a equação diferencial para  Y ( s ) é de primeira ordem no item (a), mas é de segunda ordem no item (b).

Isto ocorre porque t aparece no máximo elevado à primeira potência na equação no item (a), enquanto aparece elevado à segunda potência na equação do item (b). Isso ilustra o fato de que a transformada de Laplace nem sempre é útil para resolver equações diferenciais com coeficientes variáveis, a menos que todos os coeficientes sejam, no máximo, funções lineares da variável independente.

Passo 1

(a)Usando a transformada de Laplace na EDO dada, podemos dizer que :

L y ' ' - t y = L y ' ' - L t y

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + L - t y

Aplicando o PVI:

0 = s 2 Y s - s + Y ' s

s = s 2 Y s + Y ' s

Passo 2

(b) Usando a mesma propriedade, teremos que:

L { ( 1 - t 2 ) y ' ' - 2 t y ' + a a + 1 y }

= L y ' ' - L - t 2 y ' ' + 2 L - t y ' + a ( a + 1 ) L { y }

= s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 - d 2 d s 2 s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 2 . d d s s Y s - y 0 + a a + 1 Y ( s )

= s 2 Y s - 1 - d d s 2 s Y s + s 2 Y ' s + 2 Y s + s Y ' s + a a + 1 Y s

= - 2 Y s - 4 s Y ' s - s 2 Y ' ' s + 2 Y s + 2 s Y ' s + s 2 + a a + 1 Y s - 1

= - s 2 Y ' ' s - 2 s Y ' s + s 2 + a a + 1 Y s - 1 = 0

Então:

s 2 Y ' ' s + 2 s Y ' s - s 2 + a a + 1 Y s = - 1

Resposta

  1. s = s 2 Y s + Y ' s
  2. s 2 Y ' ' s + 2 s Y ' s - s 2 + a a + 1 Y s = - 1
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Vamos mostrar, nesse problema, como se pode usar uma expansão geral em frações parciais para calcular muitas transformadas de Laplace inversas. Suponha que: F ( s )=P ( s ) / Q ( s ) em que Q ( s ) é
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ( 4 ) - y = 0; y 0 = 1 ,y ' 0 = 0 ,y ' ' 0 = 1 ey ' ' ' 0 = 0
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado. y ( 4 ) - 4 y ' ' ' + 6 y ' ' - 4 y ' + y = 0; y 0 = 0 ,y ' 0 = 1 ,y ' ' 0 = 0ey ' ' ' 0 = 1
Em cada um dosproblemas de 24a27, encontre a transformada de Laplace Y ( s )=£ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na
Em cada um dosproblemas de 24a27, encontre a transformada de Laplace Y ( s )=£ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na