Enunciado

Para cada uma das seguintes funções ( i ) dê uma definição como aquelas em ( 2 ), ( i i ) esboce o gráfico e ( i i i ) encontre uma fórmula similar à Equação 3 .

(a) c o s s e c h - 1

(b) s e c h - 1

(c)   c o t g h - 1

Passo 1

Item a:

( i )

y = cossech - 1 ⁡ x   ⇔ cossech ⁡ y = x  

( i i )

( i i i )

cossech ⁡ y = x

cossech ⁡ y = 1 senh ⁡ y = x

senh ⁡ y = 1 x

cosh 2 ⁡ y - senh 2 ⁡ y = 1  

cosh 2 ⁡ y = 1 + senh 2 ⁡ y

  cosh ⁡ y = 1 + senh 2 ⁡ y

cosh ⁡ y = 1 + 1 x 2

Então, pelo exercício 9 que nos diz que

senh ⁡ y + cosh ⁡ y = e y = 1 x + 1 + 1 x 2

Logo:

y = ln ⁡ 1 x + 1 + 1 x 2

Passo 2

Item b:

( i )

y = cotgh - 1 ⁡ x   ⇔ cotgh ⁡ y = x

( i i )

( i i i )

cotgh ⁡ y = x

cotgh ⁡ y = 1 tgh ⁡ y = x

tgh ⁡ y = 1 x

1 x = tgh ⁡ y = senh ⁡ y cosh ⁡ y

1 x = e y - e - y 2 e y + e - y 2

1 x = e 2 y - 1 e 2 y + 1

1 x   e 2 y + 1 = e 2 y - 1

e 2 y x + 1 x = e 2 y - 1

e 2 y - e 2 y x = 1 x + 1

1 + 1 x = e 2 y ( 1 - 1 x )

e 2 y = 1 + 1 x 1 - 1 x

2 y = ln ⁡ x + 1 x - 1

y = 1 2 ln ⁡ x + 1 x - 1

Passo 3

Item c:

( i )

y = sech - 1 ⁡ x   ⇔ sech ⁡ y = x

( i i )

( i i i )

sech ⁡ y = x

sech ⁡ y = 1 cos ⁡ y = x

cosh ⁡ y = 1 x

cosh 2 ⁡ y - senh 2 ⁡ y = 1  

senh 2 ⁡ y = cosh 2 ⁡ y - 1

  senh ⁡ y = cosh 2 ⁡ y - 1

senh ⁡ y = 1 x 2 - 1

Então, pelo exercício 9 que nos diz que

senh ⁡ y + cosh ⁡ y = e y = 1 x + 1 x 2 - 1

Logo:

y = ln ⁡ 1 x + 1 x 2 - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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