Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

40-

y = x 2 + 2 x

Passo 1

Fazendo a primeira derivada dessa função temos:

y ' = 2 x - 2 x 2

Fazendo a derivada segunda temos:

y ' ' = 2 + 4 x 3

Derivada de 2 x 2 :

2 ' x 2 - 2 ( x 2 ) ' x 2 2 = - 4 x x 4 = - 4 x 3

Passo 2

Vamos encontrar nossos pontos críticos analisando y '

2 x - 2 x 2 = 0

2 x = 2 x 2

x 3 = 1

x = 1

O único valor elevado ao cubo que da 1 é o próprio 1.

Note que tanto na própria função como na sua primeira derivada temos um parcela inversa c o n s t a n t e x , ela nos dá nossa assíntota vertical onde se y = 0 .

Então temos duas funções diferentes uma positiva outra negativa.

Passo 3

Agora analisando y ' ' , podemos achar os pontos de mínimo e máximo e ponto de inflexão :

Testando para x = 1 :

y ' ' 1 = 2 + 4 1 3 = 6

Logo para x = 1 , temos mínimo local , concavidade para cima:

Inflexão:

2 + 4 x 3 = 0

x 3 = - 2

x = - 2 3

Temos x= - 2 3 como nosso valor de inflexão

Passo 4

Como já encontramos a assíntota vertical da função, vamos calcular agora se temos assíntotas horizontais:

y = x 2 + 2 x

y = x 3 + 2 x

Para x tendendo a infinito:

lim x → ∞ ⁡ x 3 + 2 x

Podemos aplicar L’Hopital por que temos indeterminação ∞ ∞ :

O que nos dá :

lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 = + ∞

Agora para x tendendo a menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 2 x

Podemos aplicar L’Hopital por que temos indeterminação ∞ ∞ :

O que nos dá :

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 = + ∞

Pois eleva-se ao quadrado, mudando o sinal.

Precisamos também fazer o limite em relação a assíntota vertical :

Fazendo tender a zero indo da direita para a esquerda:

lim x → 0 + ⁡ x 3 + 2 x = 2 0 + = + ∞

Fazendo tender a zero indo da esquerda para a direita:

lim x → 0 - ⁡ x 3 + 2 x = 2 0 - = - ∞

Passo 5

Como sabemos o comportamento da nossa função vamos organizar nossos intervalos :

Valores de x para o teste: -2,-1,0.5 e 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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