Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

42-

y = x 3 + 1 3

Passo 1

Fazendo a primeira derivada teremos:

y ' = 1 3   x 3 + 1 - 2 3 × 3 x 2

y ' = x 2 x 3 + 1 2 3

Agora fazendo a segunda derivada temos:

y ' ' = x 2 ' x 3 + 1 2 3 - x 2 x 3 + 1 2 3 ' x 3 + 1 4 3

y ' ' = 2 x x 3 + 1 2 3 - x 2 × 2 3 x 3 + 1 - 1 3 × 3 x 2 x 3 + 1 4 3

Multiplicando por x 3 + 1 1 3 em cima e em baixo nós temos:

y ' ' = 2 x x 3 + 1 - 2 x 4 x 3 + 1 5 3 ∴ 2 x x 3 + 1 5 3

Passo 2

Como não temos nenhum denominador na função e sua derivada primeira não tem uma função par no denominador não temos assíntotas verticais. Então temos que nos preocupar em achar somente os pontos críticos .

Porém essa função é peculiar. Olha só

Vamos fazer o que sempre fizemos

y ' = 0 → x = 0

Prosseguimos com a ideia de que esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo.

Porém devo me atentar ao seu denominador x 3 + 1 pois se x for igual a -1 eu terei um crescimento infinito. Então eu devo sim tratar esse ponto de forma diferenciada pois não tem como afirmar o que esse ponto de fato é.

Passo 3

Agora para a derivada segunda:

y ' ' 0 = 2 0 0 3 + 1 5 3 = 0

Opa! Esse ponto pode representar uma singularidade ou uma inflexão, tudo depende do sinal da derivada segunda antes ou após esse valor.

Para x = - 1 , o mesmo fenômeno ocorre, então realmente devemos trata-lo como um ponto a ser analisado.

Passo 4

Como não temos assíntotas verticais vamos apenas ver se existe as horizontais.

lim x →  ∞ ⁡ x 3 + 1 3 = ∞ 3 = ∞

lim x →   - ∞ ⁡ x 3 + 1 3 = - ∞ 3 = - ∞

Então a função surge de – infinito e vai até infinito

Passo 5

Organizando nossos intervalos:

Valores de teste para x: -2,-0.5,1

Então temos x = - 1 e x = 0 como pontos de inflexão da função por conta da troca de concavidade da função , não tendo nenhum ponto de máximo e mínimo absoluto.

Isso se deve em conta do grau da função que é de 1, é como se tivesse sendo feito

y = x 3 3

O que acaba em valores maiores que 1 se comportando como uma função linear.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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