Enunciado

Para cada sistema predador-presa, determine qual das variáveis, x   ou y , representa a população de presas e qual representa a população de predadores. O crescimento das presas é restrio apenas pelos predadores ou por outros fatores também? Os predadores alimentam-se apenas das presas ou eles têm outras fontes de alimentação? Explique.

(a)             d x d t = - 0,05 x + 0,0001 x y d y d t = 0,1 y - 0,005 x y

(b) d x d t = 0,2 x - 0,0002 x 2 - 0,006 x y d y d t = - 0,015 x + 0,00008 x y

Passo 1

  1. Precisamos analisar as equações             d x d t = - 0,05 x + 0,0001 x y d y d t = 0,1 y - 0,005 x y , e decidir qual das variáveis representa os predadores e qual representa as presas.
  2. Bom, vamos começar olhando para d x d t = - 0,05 x + 0,0001 x y .

    Nessa equação, se tivermos y = 0 , teremos d x d t = - 0,05 x . Beleza, mas o que isso quer nos dizer, afinal? Ora, se quando não temos y , a derivada de x é negativa, então o nosso x diminui na ausência de y . Disso podemos concluir que x representa a população de predadores, e y representa a população de presas.

    Podemos confirmar nossa conclusão olhando para a outra equação agora,

    d y d t = 0,1 y - 0,005 x y , neste caso, quando x = 0 (em outras palavras: quando não existirem predadores), d y d t = 0,1 y , a população aumenta.

    Nossa questão também pergunta se os predadores têm outra fonte de alimentação além das presas. E a nossa resposta é não. A equação dos predadores aumenta apenas através do termo 0,0001 x y , ou seja, só aumenta se tiver presas para se alimentar.

    Passo 2

  3. Agora queremos analisar as equações d x d t = 0,2 x - 0,0002 x 2 - 0,006 x y e d y d t = - 0,015 x + 0,00008 x y   e decidir qual das variáveis representa os predadores e qual representa as presas.

Primeiro, vamos ver o que nos diz a equação: d y d t = - 0,015 x + 0,00008 x y ,     ela parece ser mais simples de interpretar que a outra, pois não tem nenhum termo ao quadrado.

Veja que, quando x = 0 , d y d t =   - 0,015 x , o que indica que na ausência de y , x diminui a uma taxa proporcional a si mesma. Então y representa os predadores, e x são as presas.

Olharemos agora para a equação que representa as presas, d x d t = 0,2 x - 0,0002 x 2 - 0,006 x y . Podemos ver que todos os termos são múltiplos de 0,2 , certo? Então vamos colocar 0,2 em evidência:

d x d t = 0,2 ( x - 0,001 x 2 - 0,03 x y )

Com isso, podemos observar que o crescimento das presas é restringido por uma capacidade de carga de 1000 [do termo 1 - 0,001 x = 1 - x   / 1000 ] e por encontros com predadores (o termo - 0,006 x y ). A população de predadores aumenta somente através do termo 0,00008 x y , isto é, por encontros com as presas, e não por nenhuma fonte adicional de alimento.

Resposta

  1. d x d t = - 0,05 x + 0,0001 x y representa predadores
  2. d y d t = 0,1 y - 0,005 x y representa presas

    Os predadores alimentam-se apenas das presas, pela dependência entre as variáveis.

  3. d x d t = 0,2 x - 0,0002 x 2 - 0,006 x y representa presas

d y d t = - 0,015 x + 0,00008 x y representa predadores

Os predadores alimentam-se apenas das presas, pela dependência entre as variáveis.

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