Enunciado

Um objeto de massa m é solto a partir do repouso e presumimos que a resistência do ar seja proporcional à velocidade do objeto. Se s ( t ) for a distância percorrida depois de t segundos, então a velocidade é v = s ' ( t ) e a aceleração é a = v ' t . Se g for a aceleração da gravidade, então a força para baixo no objeto é m g - c v , onde c é uma constante positiva, e a Segunda Lei de Newton fornece

m d v d t = m g - c v

  1. Resolva essa equação linear para mostrar que
  2. v = m g c ( 1 - e c t m )

  3. Qual é a velocidade-limite?
  4. Calcule a distância que o objeto caiu depois de t segundos.

Passo 1

  1. Queremos resolver a equação linear m d v d t = m g - c v . Como podemos fazer isso? É uma boa ideia verificarmos se essa é uma integral separável, ou seja, se conseguimos deixar um lado da equação com termos apenas de v e outro lado com termos de t .   Se isso for possível, podemos integrar de ambos os lados e isolar uma das variáveis.
  2. m d v d t = m g - c v

    m d v m g - c v = d t

    Opa, parece que deu certo, essa é uma EDO separável, então podemos resolvê-la fazendo:

    ∫ m d v m g - c v = ∫ d t

    - m c ln ⁡ ( m g - c v ) = t + C

    Onde C é uma constante de integração, que não podemos esquecer.

    Passo 2

    Lembre que o objeto é solto do repouso, isso quer dizer que no início ( t = 0 ) a velocidade também era zero ( v = 0 ) . Então vamos encontrar a constante C , substituindo esses valores na equação:

    - m c ln ⁡ ( m g - 0 ) = 0 + C

    - m c ln ⁡ ( m g ) = C

    Trocando C por essa expressão na nossa solução, ficamos com:

    - m c ln ⁡ m g - c v = t -   m c ln ⁡ ( m g )

    Precisamos isolar v na equação paraver se chegamos na resposta que a questão pediu para verificarmos, então vamos ajeitar ela:

    m c ln ⁡ m g m g - c v = t

    ln ⁡ m g m g - c v = c t m

    Agora para nos livrar desse logaritmo vamos usar aquela propriedade que diz que e ln ⁡ a = a

    e ln m g mg - cv ⁡ = e c t / m

    m g m g - c v = e c t m

    m g - c v = m g e - c t m

    c v = m g - m g e - c t m

    v = m g c   1 - e - c t m

    Passo 3

  3. Queremos calcular a velocidade limite do objeto. Podemos fazer isso tomando um limite de v quando t → ∞ , então
  4. lim t → ∞ ⁡ v = lim t → ∞ ⁡ m g c   1 - e - c t m

    Note que tanto c quanto m são positivos, então:

    = m g c 1 - e - ∞ = m g c 1 - 0 = m g c

    O que podemos concluir dessa conta é que nossa velocidade terminal é igual a m g c

    Passo 4

  5. Queremos calcular a distância que o objeto caiu depois de t segundos. Bom, se considerarmos s ( t ) como sendo essa distância, então v = d s d t

Do item (a), sabemos que v = m g c   1 - e - c t m

Então

d s d t = m g c   1 - e - c t m

Vamos integrar essa equação em ambos os lados com relação a t para ver o que acontece:

∫ d s d t   d t = ∫ m g c   1 - e - c t m   d t

Opa, parece que essa foi uma boa ideia, pois do lado esquerda apareceu um d t   que podemos cortar:

∫ d s = m g c ∫ 1 - e - c t m     d t

s = m g c t + m c e - c t m + C

Não podemos esquecer a constante C que sempre aparece quando resolvemos uma integral indefinida. Ela é também é importante, e para chegarmos a resposta final precisamos encontrar seu valor.

Quando t = 0 , a distância percorrida também é igual a 0 , então:

0 = m g c 0 + m c e 0 + C

0 = m 2 g c 2 + C

C = - m 2 g c 2

Então s = m g c t + m c e - c t m - m 2 g c 2

Ainda podemos colocar um termo m g c em evidência para melhorar nossa resposta:

s = m g c t + m c e - c t m - m c

Resposta

(b) m g c

(c) s = m g c t + m c e - c t m - m c

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