Enunciado

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Uma caixa sem tampa será feita com um pedaço retangular de papelão com dimensões de 14 × 22 polegadas, cortando-se quadrados iguais de lado x em cada canto e, depois, dobrando-se as laterais para cima, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa em função de x .

Passo 1

A questão pede que escrevamos o volume da caixa em função das dimensões x do quadrado recortado. Para isto, precisamos determinar cada uma das 3 dimensões da caixa, visto que o seu volume é calculado através da seguinte equação:

V = A l t u r a ⋅ L a r g u r a ⋅ C o m p r i m e n t o

Ao escrevermos cada um desses comprimentos como uma função de x e multiplicarmos todos eles, obteremos o volume da nossa caixa em função de x . Por fim, determinaremos o domínio da nossa função

Passo 2

A altura da caixa será exatamente o comprimento x do recorte. Logo:

A l t u r a = x

Passo 3

O comprimento do pedaço retangular é igual a 22   p o l . Ao fazer um recorte no valor de 2 x ( x para cada lado), teremos o comprimento da nossa caixa. Isto é:

C o m p r i m e n t o = 22 - 2 x

Passo 4

A largura do pedaço retangular é igual a 14   p o l . Ao fazer um recorte no valor de 2 x ( x para cada lado), teremos a largura da nossa caixa. Isto é:

C o m p r i m e n t o = 14 - 2 x

Passo 5

O volume da nossa caixa é obtido multiplicando cada uma das medidas obtidas nos passos anteriores. Sendo assim, temos:

V = x ⋅ 22 - 2 x ⋅ 14 - 2 x = 4 x 3 - 62 x 2 + 308

Passo 6

Ao realizar o recorte do pedaço retângulo, é necessário que sobre um pedaço de papelão em cada um dos lados para que ele possa formar as laterais da caixa. Sendo assim, temos duas restrições para o nosso problema, tanto em relação do comprimento quanto da largura:

0 < 2 x < 22 0 < 2 x < 14

Neste problema, predomina-se a restrição da largura ( 0 < x < 7 ) , pois valores não é possível cortar quadrados de lado maior que 7, visto que não há largura suficiente.

Resposta

V = x ⋅ 22 - 2 x ⋅ 14 - 2 x = 4 x 3 - 62 x 2 + 308

0 < x < 7

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