Calcule a integral

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x

Vamos obter inicialmente a primitiva da integral indefinida associada, a qual é:

∫ e x / 2   d x = 2 e x / 2 + k

Uma primitiva de uma função exponencial e k x é dada por ( e k x ) / k . Observem que, como foi resolvido uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante k !

Passo 3

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x   d x = 2 e x / 2   ln ⁡ 4 ln ⁡ 9

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x = 2 e ln ⁡ 9 2 - 2 e ln ⁡ 4 2

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x = 2 e 2 ln ⁡ 3 2 - 2 e 2 ln ⁡ 2 2

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x = 2 e ln ⁡ 3 - 2 e ln ⁡ 2

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x = 2 ⋅ 3 - 2 ⋅ 2 = 6 - 4 = 2

Resposta

∫ ln ⁡ 4 ln ⁡ 9 e x / 2   d x = 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados