Calcula a integral

∫ t g 5 x sec 3 ⁡ x   d x  

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Passo 2

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

sec 2 ⁡ x   =     t g 2 x + 1  

sec 2 ⁡ x - 1 = t g 2   x  

Elevando ambos os lados ao quadrado

sec 2 ⁡ x - 1 2 = t g 4   x  

Então, substituindo na integral,

∫ t g 5 x sec 3 ⁡ x   d x   = ∫   t g x sec 3 ⁡ x   t g 4 x   d x

= ∫ t g   x sec 3 ⁡ x   sec 2   ⁡ x - 1 2   d x

Passo 3

Para facilitar nossa vida, vamos fazer uma substituição,

u = sec ⁡ x

d u = sec ⁡ x   t g x d x  

Daí,

∫ t g   x sec 3 ⁡ x   sec 2   ⁡ x - 1 2   d x = ∫ u 2 u 2 - 1 2 d u  

Abrindo as contas:

∫   u 2   u 4 - 2 u 2 + 1 d u = ∫ [   u 6 - 2 u 4 + u 2   ] d u

Pelas propriedades de integral,

∫ [   u 6 - 2 u 4 + u 2   ] d u = u 7 7 - 2 5 u 5 + u 3 3 + C

Voltando agora com a substituição inicial:

=   1 7 sec 7 ⁡ x - 2 5 sec 5 ⁡ x + 1 3 sec 3 ⁡ x + C

Resposta

∫ t g 5 x sec 3 ⁡ x   d x   = 1 7 sec 7 ⁡ x - 2 5 sec 5 ⁡ x + 1 3 sec 3 ⁡ x + C

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