Calcule a integral.

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x

Passo 1

Faala ae, beleza??

Precisamos resolver a integral usando integração por partes! Relembrando a técnica, temos que:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Dessa forma u = ln ⁡ x 2 :

d u = 2 ln ⁡ x ⋅ 1 x d x = 2 ln ⁡ x x   d x

Fazendo d v = d x / x 3   , temos que:

v = - 1 2 x 2

Assim:

∫ ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ x 2 2 x 2 + ∫ ln ⁡ x x 3   d x

Opa, para resolver essa outra integral, vamos precisar usar a integração por partes de novo!

Passo 2

Queremos calcular a integral ∫ ln ⁡ x x 3   d x . Para isso, vamos fazer a substituição u = ln ⁡ x , de modo que d u = d x / x . Além disso, d v = d x x 3 → v = - 1 / 2 x 2 . Desta forma, a integral fica

∫ ln ⁡ x x 3   d x = - ln ⁡ x 2 x 2 + ∫ 1 2 x 3 d x =

= - ln ⁡ x 2 x 2 + 1 2 - 1 2 x 2 = - ln ⁡ x 2 x 2 - 1 4 x 2

Passo 3

Agora, é só substituir na integral que a gente tinha no passo 1:

∫ ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ x 2 2 x 2 + ∫ ln ⁡ x x 3   d x

Substituindo o resultado do passo 2:

∫ ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ x 2 2 x 2 - ln ⁡ x 2 x 2 - 1 4 x 2

Por último, vamos substituir os limites de integração:

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ x 2 2 x 2 - ln ⁡ x 2 x 2 - 1 4 x 2 1 2

Assim:

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ 2 2 2 4 - ln ⁡ 2 2 4 - 1 4 4 - - ln ⁡ 1 2 2 1 - ln ⁡ 1 2 1 - 1 4 1

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ 2 2 8 - ln ⁡ 2 8 - 1 16 - - 0 2 2 1 - 0 2 1 - 1 4

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ 2 2 8 - ln ⁡ 2 8 - 1 16 + 1 4

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - 2 ln ⁡ 2 2 - 2 ln ⁡ 2 - 1 + 4 16

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = 2 ( - ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 2 ) + 3 16

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = 2 ( - ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 2 ) 16 + 3 16

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 2 8 + 3 16

Pronto!! Ufa, acabou!

Resposta

∫ 1 2 ln ⁡ x 2 x 3   d x = - ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 2 8 + 3 16

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados