Calcular a área entre as curvas:

  1. 2r = 3 e r = 3sen theta

Passo 1

A área pedida está na figura:

Vamos ver onde ocorre a interseções das funções:

3 2 = 3   s e n   θ

s e n   θ = 1 2

θ = π 6

Porém, veja que até π 6 temos uma função (a de azul) que é r = 3   s e n   θ e depois de π 6 até π 2 temos a outra função. E esse trecho é simétrico ao eixo y , então podemos fazer a área desses dois, somar e multiplicar por 2 (calma... vamos por partes).

Passo 2

A gente usa a fórmula:

A = 1 2 ∫ α β f θ 2 d θ  

Vamos primeiro naquele trechinho de 0   a π 6 que é onde as funções se encontram.

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 6 3   s e n   θ 2 d θ

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 6 9   s e n 2 θ   d θ

A 1 = 1 2 9 θ 2 - 9 s e n 2 θ 4 0 π / 6

= 1 2 9 π 12 - 9 3 8

= 9 π 24 - 9 3 16

Passo 3

Vamos agora pra área que vai desse ponto de interseção até o eixo y ...

A 2 = 1 2 ∫ π 6 π 2 3 2 2 d θ

A 2 = 1 2 9 4 π 2 - π 6

= 1 2 9 4 π 3

= 9 π 24

Passo 4

Beleza, a soma dessas duas áreas dá a área da parte direita do gráfico, então pra acharmos a área total, é só a gente fazer:

A = 2 A 1 + A 2

A = 2 9 π 24 - 9 3 16 + 9 π 24

A = 3 π 2 - 9 3 8   u . a

Pronto! Essa é a área pedida😉

Resposta

A = 3 π 2 - 9 3 8   u . a

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