Enunciado

Em que pontos a reta tangente à curva y 2 = 2 x 3 é perpendicular a reta 4 x - 3 y + 1 = 0 .

Passo 1

Vamos começar pela inclinação da reta tangente da curva y 2 = 2 x 3 . Vamos derivar...

2 y   y ' = 6 x 2

y ' = 6 x 2 2 y

y ' = 3 x 2 y

E agora vamos determinar a inclinação par ser perpendicular à reta 4 x - 3 y + 1 = 0 . A gente deriva...

4 - 3 y ' = 0

y ' = 4 3   ( e s s a   é   d a   t a n g e n t e )

Pra ser perpendicular, a gente faz o inverso do oposto dessa, ou seja:

m p =   - 3 4

Passo 2

Beleza, pra nossa reta tangente ser perpendicular à essa outra reta, precisamos que a inclinação dela seja igual a - 3 4 . Ou seja, precisamos descobrir os pontos em que:

3 x 2 y = - 3 4

- 3 y = 12 x 2

y = - 4 x 2

Jogamos na nossa função agora...

y 2 = 2 x 3

- 4 x 2 2 = 2 x 3

16 x 4 = 2 x 3

x = 2 16 = 1 8

(no ponto ( 0,0 ) não temos reta tangente)

Passo 3

Show! Achamos o ponto então, é 1 8 ,   - 1 16 . Vamos checar isso no gráfico:

Resposta

1 8 ,   - 1 16

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