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Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 43

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desse livro

Calcular a área sob o gráfico de y = sen 3 ⁡ x , de 0 até π .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar a curva y = sen 3 ⁡ x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de 0 até π , e temos que y = sen 3 ⁡ x é a função de cima, e y = 0 é a função de baixo, vamos substituir:

A = ∫ a b f c i m a - f b a i x o d x = ∫ 0 π sen 3 ⁡ x - 0 d x = ∫ 0 π sen 3 ⁡ x d x

Para calcular ∫ 0 π sen 3 ⁡ x d x vamos usar a fórmula de Recorrência, e vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ sen n ⁡ u d u = - 1 n sen n - 1 ⁡ u cos ⁡ u + n - 1 n ∫ sen n - 2 ⁡ u d u

Assim:

∫ sen 3 ⁡ x d x = - 1 3 sen 3 - 1 ⁡ x cos ⁡ x + 3 - 1 3 ∫ sen 3 - 2 ⁡ x d x =

= - 1 3 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x + 2 3 ∫ sen ⁡ x d x = - 1 3 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x + 2 3 - cos ⁡ x + C =

= - 1 3 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora é só juntar tudo para achar a área:

A ∫ 0 π sen 3 ⁡ x d x = - 1 3 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - 2 3 cos ⁡ x 0 π =

= - 1 3 sen 2 ⁡ π cos ⁡ π - 2 3 cos ⁡ π - - 1 3 sen 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0 - 2 3 cos ⁡ 0 =

= - 1 3 ⋅ 0 ⋅ - 1 - 2 3 ⋅ - 1 - - 1 3 ⋅ 0 ⋅ 1 - 2 3 ⋅ 1 = 2 3 + 2 3 = 4 3

Resposta

A = 4 3

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