Calcule a integral indefinida:

∫ 1 + x 2 x 3   d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = tg ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 1 + x 2 x 3   d x = ∫ 1 + tg 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 1 + tg 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ tg 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ d θ

Passo 2

Vamos fazer algumas manipulações trigonométricas:

∫ sec 3 ⁡ θ tg 3 ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos 3 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ cos 3 ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos 3 ⁡ θ ⋅ cos 3 ⁡ θ s en 3 ⁡ θ d θ = ∫ 1 sen 3 ⁡ θ d θ = ∫ cosec 3 ⁡ θ d θ

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ cosec n ⁡ u d u = - 1 n - 1 cosec n - 2 ⁡ u cotg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ cosec n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 3 - 1 cosec 3 - 2 ⁡ θ cotg ⁡ θ + 3 - 2 3 - 1 ∫ cosec 3 - 2 ⁡ θ d θ

∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cosec ⁡ x d x = ln ⁡ cosec ⁡ x - cotg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ cosec ⁡ θ d θ = ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

E vamos juntar tudo:

∫ 1 + x 2 x 3   d x = ∫ cosec 3 ⁡ θ d θ = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ∫ cosec ⁡ θ d θ =

= - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ 1 + x 2 x 3   d x = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C

Temos que x = tg ⁡ θ , ou seja, tg ⁡ θ = x , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar co sec ⁡ θ e cotg ⁡ θ :

Assim os valores de cosec ⁡ θ e cotg ⁡ θ são:

cosec ⁡ θ = 1 sen ⁡ θ = 1 x 1 + x 2 = 1 + x 2 x

cotg ⁡ θ = 1 tg ⁡ θ = 1 x

Pronto, ficamos então com:

∫ 1 + x 2 x 3   d x = - 1 2 cosec ⁡ θ cotg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ cosec ⁡ θ - cotg ⁡ θ + C =

= - 1 2 ⋅ 1 + x 2 x ⋅ 1 x + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 x - 1 x + C = - 1 + x 2 2 x 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 x - 1 x + C

Resposta

∫ 1 + x 2 x 3   d x = - 1 + x 2 2 x 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 x - 1 x + C

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