Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

x = sqrt(2) sen theta -> theta = arcsen ((x)/(sqrt(2)))

d x = sqrt(2) cos theta d theta

Substituindo temos:

int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x = int (2 sen^2 theta)/(sqrt(2 - 2 sen^2 theta)) sqrt(2) cos theta d theta = int (2 sen^2 theta)/(sqrt(2 (1 - sen^2 theta))) sqrt(2) cos theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (2 sen^2 theta)/(sqrt(2 (1 - sen^2 theta))) sqrt(2) cos theta d theta = int (2 sen^2 theta)/(sqrt(2 cos^2 theta)) sqrt(2) cos theta d theta = int (2 sen^2 theta)/(sqrt(2) cos theta) sqrt(2) cos theta d theta =

= int 2 sen^2 theta d theta

Passo 2

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica:

sen^2 theta = (1)/(2) - (cos 2 theta)/(2)

Assim ficamos com:

int 2 sen^2 theta d theta = int 2 ((1)/(2) - (cos 2 theta)/(2)) d theta = int 1 - cos 2 theta d theta = int 1 d theta + int - cos 2 theta d theta

Passo 3

Pronto, com a primeira integral é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

int 1 d theta = theta + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

u = 2 theta

d u = 2 d theta

Substituindo:

int - cos 2 theta d theta = int - (cos u)/(2) d u = - (1)/(2) int cos u d u

Agora usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int cos x d x = sen x + C

E agora plicando:

- (1)/(2) int cos u d u = - (1)/(2) sen u + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x = int 2 sen^2 theta d theta = int 1 d theta + int - cos 2 theta d theta = theta - (1)/(2) sen u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x = theta - (1)/(2) sen u + C = arcsen ((x)/(sqrt(2))) - (1)/(2) sen 2 theta + C =

= arcsen ((x)/(sqrt(2))) - (1)/(2) 2 sen theta cos theta + C = arcsen ((x)/(sqrt(2))) - sen theta cos theta + C

Temos que sen theta = (x)/(sqrt(2)) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos theta :

Assim o valor de cos theta :

cos theta = (sqrt(2 - x^2))/(sqrt(2))

Substituindo isso ficamos com:

int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x = arcsen ((x)/(sqrt(2))) - sen theta cos theta + C = arcsen ((x)/(sqrt(2))) - (x)/(sqrt(2)) * (sqrt(2 - x^2))/(sqrt(2)) + C =

= arcsen ((x)/(sqrt(2))) - (x sqrt(2 - x^2))/(2) + C

Resposta

int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x = arcsen ((x)/(sqrt(2))) - (x sqrt(2 - x^2))/(2) + C

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